平面上の点 $(x, y)$ において、保存力 $\vec{F} = -xy^2\vec{i} - x^2y\vec{j}$ が質点に作用している。このとき、原点を基準とした、点 $(1, 2)$ におけるポテンシャルを求める。

1. 問題の内容

平面上の点 $(x, y)$ において、保存力 $\vec{F} = -xy^2\vec{i} - x^2y\vec{j}$ が質点に作用している。このとき、原点を基準とした、点 $(1, 2)$ におけるポテンシャルを求める。

2. 解き方の手順

保存力 $\vec{F}$ とポテンシャル $U$ の関係は以下の通りである。

$$\vec{F} = -\nabla U$$

ここで、$\nabla$ は勾配を表す演算子である。二次元の場合、$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j}$ となる。

したがって、

$$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -xy^2$$

$$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -x^2y$$

まず、$F_x$ の式から $U$ を求める。

$$U(x, y) = -\int F_x dx = \int xy^2 dx = \frac{1}{2}x^2y^2 + f(y)$$

ここで、$f(y)$ は $x$ に依存しない任意の関数である。

次に、この $U$ を $y$ で偏微分する。

$$\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2}x^2y^2 + f(y)) = x^2y + f'(y)$$

これが $-F_y = x^2y$ に等しいはずなので、

$$x^2y + f'(y) = x^2y$$

したがって、$f'(y) = 0$ となる。

これを積分すると、$f(y) = C$ (定数)となる。

したがって、

$$U(x, y) = \frac{1}{2}x^2y^2 + C$$

原点を基準とするので、$U(0, 0) = 0$ となるように $C$ を定める。

$$U(0, 0) = \frac{1}{2}(0)^2(0)^2 + C = 0$$

したがって、$C = 0$ である。

よって、ポテンシャルは

$$U(x, y) = \frac{1}{2}x^2y^2$$

点 $(1, 2)$ におけるポテンシャルは、

$$U(1, 2) = \frac{1}{2}(1)^2(2)^2 = \frac{1}{2}(1)(4) = 2$$

3. 最終的な答え

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