ある保存力 $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ [N] に対して、位置 $\vec{r} = (x, y, z)$ [m] における質量 $m$ [kg] の質点のポテンシャルが $U = m(\cos x + \sin y + z^2)$ [J] で与えられています。このとき、以下の各問に答えます。 (1) $U$ を $x$ で偏微分せよ。 (2) $U$ を $y$ で偏微分せよ。 (3) $U$ を $z$ で偏微分せよ。 (4) 力 $\vec{F}$ を $x, y, z$ を用いて示せ。

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

ある保存力 $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ [N] に対して、位置 $\vec{r} = (x, y, z)$ [m] における質量 $m$ [kg] の質点のポテンシャルが $U = m(\cos x + \sin y + z^2)$ [J] で与えられています。このとき、以下の各問に答えます。

(1) $U$ を $x$ で偏微分せよ。

(2) $U$ を $y$ で偏微分せよ。

(3) $U$ を $z$ で偏微分せよ。

(4) 力 $\vec{F}$ を $x, y, z$ を用いて示せ。

2. 解き方の手順

(1) $U$ を $x$ で偏微分する。

$U = m(\cos x + \sin y + z^2)$ を $x$ で偏微分すると、

$\frac{\partial U}{\partial x} = m \frac{\partial}{\partial x} (\cos x + \sin y + z^2) = m(-\sin x + 0 + 0) = -m \sin x$

(2) $U$ を $y$ で偏微分する。

$U = m(\cos x + \sin y + z^2)$ を $y$ で偏微分すると、

$\frac{\partial U}{\partial y} = m \frac{\partial}{\partial y} (\cos x + \sin y + z^2) = m(0 + \cos y + 0) = m \cos y$

(3) $U$ を $z$ で偏微分する。

$U = m(\cos x + \sin y + z^2)$ を $z$ で偏微分すると、

$\frac{\partial U}{\partial z} = m \frac{\partial}{\partial z} (\cos x + \sin y + z^2) = m(0 + 0 + 2z) = 2mz$

(4) 力 $\vec{F}$ はポテンシャルの勾配の負の符号をつけたものとして求められます。つまり、

$\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}) = -(-m \sin x, m \cos y, 2mz) = (m \sin x, -m \cos y, -2mz)$

$\vec{F} = m(\sin x, -\cos y, -2z)$

3. 最終的な答え

(1) $-m \sin x$

(2) $m \cos y$

(3) $2mz$

(4) $m(\sin x, -\cos y, -2z)$