定義域が $x>0$ である総可変費用関数が $C(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x$ で与えられているとき、$x > \frac{39}{16}$ ならば限界費用が平均可変費用を上回ることを示す。

1. 問題の内容

定義域が $x>0$ である総可変費用関数が $C(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x$ で与えられているとき、$x > \frac{39}{16}$ ならば限界費用が平均可変費用を上回ることを示す。

2. 解き方の手順

まず、平均可変費用 (AVC) と限界費用 (MC) を求める。

平均可変費用 (AVC) は、総可変費用を生産量 $x$ で割ったものである。

$AVC(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2}$

限界費用 (MC) は、総可変費用を $x$ で微分したものである。

$MC(x) = \frac{dC(x)}{dx} = \frac{3}{8}x^2 - 3x + \frac{19}{2}$

次に、限界費用が平均可変費用を上回る条件を求める。つまり、$MC(x) > AVC(x)$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$\frac{3}{8}x^2 - 3x + \frac{19}{2} > \frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2}$

$\frac{3}{8}x^2 - 3x + \frac{19}{2} - (\frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2}) > 0$

$\frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{8}x^2 - 3x + \frac{3}{2}x > 0$

$\frac{2}{8}x^2 - \frac{3}{2}x > 0$

$\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x > 0$

$x(\frac{1}{4}x - \frac{3}{2}) > 0$

$x > 0$ という条件があるので、$\frac{1}{4}x - \frac{3}{2} > 0$ を解く。

$\frac{1}{4}x > \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2} \times 4$

$x > 6$

テキストに書かれている$x>\frac{39}{16}$は正しくない。

正しくは$x>6$

3. 最終的な答え

限界費用が平均可変費用を上回るのは、$x > 6$ のときである。

テキストにある$x>\frac{39}{16}$は誤り。