断面積が変化する配管があり、断面①から水が $u_1 = 7 \text{ m/s}$ の速度で噴出している。配管途中の断面②の半径は $30 \text{ mm}$ で、流速は $u_2 = 4 \text{ m/s}$ である。断面①での噴出速度を $5 \text{ m/s}$ および $12 \text{ m/s}$ に変更するには、断面①の半径をそれぞれいくつにすればよいか求めよ。

1. 問題の内容

断面積が変化する配管があり、断面①から水が $u_1 = 7 \text{ m/s}$ の速度で噴出している。配管途中の断面②の半径は $30 \text{ mm}$ で、流速は $u_2 = 4 \text{ m/s}$ である。断面①での噴出速度を $5 \text{ m/s}$ および $12 \text{ m/s}$ に変更するには、断面①の半径をそれぞれいくつにすればよいか求めよ。

2. 解き方の手順

非圧縮性流体の連続の式を用いる。

断面①の半径を $r_1$ 、面積を $A_1$、流速を $u_1$ とする。

断面②の半径を $r_2 = 30 \text{ mm} = 0.03 \text{ m}$、面積を $A_2$、流速を $u_2 = 4 \text{ m/s}$ とする。

連続の式より、

$A_1 u_1 = A_2 u_2$

円の面積は $A = \pi r^2$ なので、

$\pi r_1^2 u_1 = \pi r_2^2 u_2$

$r_1^2 = \frac{r_2^2 u_2}{u_1}$

$r_1 = r_2 \sqrt{\frac{u_2}{u_1}}$

(1) $u_1 = 5 \text{ m/s}$ の場合

$r_1 = 0.03 \sqrt{\frac{4}{5}}$

$r_1 = 0.03 \sqrt{0.8}$

$r_1 = 0.03 \times 0.8944$

$r_1 = 0.026832 \text{ m} = 26.832 \text{ mm}$

(2) $u_1 = 12 \text{ m/s}$ の場合

$r_1 = 0.03 \sqrt{\frac{4}{12}}$

$r_1 = 0.03 \sqrt{\frac{1}{3}}$

$r_1 = 0.03 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$

$r_1 = 0.03 \times \frac{\sqrt{3}}{3}$

$r_1 = 0.01 \sqrt{3}$

$r_1 = 0.01 \times 1.732$

$r_1 = 0.01732 \text{ m} = 17.32 \text{ mm}$

3. 最終的な答え

噴出する水の流速を $5 \text{ m/s}$ とするためには、断面①の半径を $26.832 \text{ mm}$ にすれば良い。

噴出する水の流速を $12 \text{ m/s}$ とするためには、断面①の半径を $17.32 \text{ mm}$ にすれば良い。