質量2kgの物体が、水平面と $\frac{\pi}{6}$ [rad] の角度をなす滑らかな斜面を上っている。斜面に沿って12Nの一定の力Fが加えられ、斜面に沿って5m引き上げられた。力を加え始めた瞬間の物体の速度は3m/sである。 (1) 力Fがした仕事[J]を求める。 (2) 重力がした仕事[J]を求める。 (3) 引き上げ終了直後の物体の速さ[m/s]を求める。

1. 問題の内容

質量2kgの物体が、水平面と $\frac{\pi}{6}$ [rad] の角度をなす滑らかな斜面を上っている。斜面に沿って12Nの一定の力Fが加えられ、斜面に沿って5m引き上げられた。力を加え始めた瞬間の物体の速度は3m/sである。

(1) 力Fがした仕事[J]を求める。

(2) 重力がした仕事[J]を求める。

(3) 引き上げ終了直後の物体の速さ[m/s]を求める。

2. 解き方の手順

(1) 力Fがした仕事

仕事は、力と移動距離の積で与えられます。

$W = F \cdot d$

ここで、F = 12N, d = 5m なので、

$W = 12N \cdot 5m = 60J$

(2) 重力がした仕事

重力の大きさは $mg$ で、ここで $m = 2kg$、$g = 9.8 m/s^2$ なので、$mg = 2kg \cdot 9.8m/s^2 = 19.6N$ です。

斜面に沿った移動距離は5mですが、重力は下向きに働くので、斜面に沿って移動した距離の鉛直方向の高さの変化を考える必要があります。

高さの変化は、移動距離に $\sin(\frac{\pi}{6})$ をかけたものです。

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$なので、高さの変化は $5m \cdot \frac{1}{2} = 2.5m$です。

重力がした仕事は、重力の大きさに高さの変化をかけて、負の符号をつけたものです。

$W = -mgh = -19.6N \cdot 2.5m = -49J$

(3) 引き上げ終了直後の物体の速さ

エネルギー保存則を利用します。

初めの運動エネルギーを$K_1$、終わりの運動エネルギーを$K_2$とします。また初めの位置エネルギーを$U_1=0$、終わりの位置エネルギーを$U_2$とします。

$K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 2kg \cdot (3m/s)^2 = 9J$

$U_2 = mgh = 19.6N \cdot 2.5m = 49J$

力Fがした仕事は60Jなので、

$K_1 + U_1 + W = K_2 + U_2$

$9J + 0J + 60J = K_2 + 49J$

$K_2 = 20J$

$K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2$なので、

$20J = \frac{1}{2} \cdot 2kg \cdot v_2^2$

$v_2^2 = 20$

$v_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} m/s$

3. 最終的な答え

(1) 60 J

(2) -49 J

(3) $2\sqrt{5}$ m/s