両端回転端の長さ1.2m、直径80mmの鋳鉄製円柱の座屈荷重 $W$ と座屈応力 $\sigma$ を求める問題です。

1. 問題の内容

両端回転端の長さ1.2m、直径80mmの鋳鉄製円柱の座屈荷重 $W$ と座屈応力 $\sigma$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、断面二次モーメント $I_0$ と断面積 $A$ を計算します。

$I_0 = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi \times (80)^4}{64} = 2010624 \ mm^4 \approx 32010 \times 10^3 \ mm^4$

$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times (80)^2}{4} = 5026.55 \ mm^2 \approx 65024 \ mm^2$

次に、断面二次半径 $k_0$ を計算します。

$k_0 = \sqrt{\frac{I_0}{A}} = \sqrt{\frac{2010624}{5026.55}} = \sqrt{400} = 20 \ mm$

問題文中の值を使うと

$k_0 = \sqrt{\frac{72010 \times 10^3}{85024}} = \sqrt{846.94} \approx 29.1 mm$

細長比 $\frac{l}{k_0}$ を計算します。$l = 1.2 m = 1200 mm$

$\frac{l}{k_0} = \frac{1200}{20} = 60$

問題文中の値を使うと

$\frac{l}{k_0} = \frac{1200}{1120} \approx 107.14$

次に、座屈荷重 $W$ をランキンの式を用いて計算します。

$W = \frac{\sigma_c A}{1 + \frac{a}{n} (\frac{l}{k_0})^2}$

ここで、$\sigma_c$ は材料の比例限度、 $a$ はランキン定数、$n$ は両端回転の条件による定数です。

問題文から、$\sigma_c A = 16544 \times 5024$

$W = \frac{16544 \times 5024}{1 + \frac{1}{20} (\frac{1200}{20})^2} = \frac{16544 \times 5024}{1 + \frac{1}{20} (60)^2} = \frac{83125376}{1 + \frac{3600}{20}} = \frac{83125376}{1 + 180} = \frac{83125376}{181} \approx 459256 N = 459.26 kN$

$W = \frac{16544 \times 5024}{1 + \frac{1}{19} (\frac{1200}{1120})^2} = \frac{16544 \times 5024}{1 + \frac{1}{19} (107.14)^2} = \frac{83125376}{1 + \frac{11479}{19}} = \frac{83125376}{1 + 604.15} = \frac{83125376}{605.15} = 137360 N \approx 137.36 kN$

次に、座屈応力 $\sigma$ を計算します。

$\sigma = \frac{W}{A} = \frac{459256}{5026.55} = 91.37 MPa$

問題文から、$\sigma = \frac{24}{25} = 26 MPa$

$\sigma = \frac{137360}{5026.55} = 27.33 MPa$

3. 最終的な答え

座屈荷重 $W = 22 kN$

座屈応力 $\sigma = 27 MPa$