質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を運動しており、速度 $v$ に比例する力 $-bv$ が作用している。 (1) 運動方程式を求める。 (2) 運動方程式の解となり得るものを選択する。 (3) 初期条件 $v(0) = 1$ を満たす解を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を運動しており、速度 $v$ に比例する力 $-bv$ が作用している。

(1) 運動方程式を求める。

(2) 運動方程式の解となり得るものを選択する。

(3) 初期条件 $v(0) = 1$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式

運動方程式は、質量 $m$ に加速度 $\dot{v}$ をかけたものが、働く力に等しいという式で表されます。

この場合、働く力は $-bv$ なので、運動方程式は以下のようになります。

$m\dot{v} = -bv$

したがって、選択肢の2が正解です。

(2) 運動方程式の解

運動方程式 $m\dot{v} = -bv$ を解きます。$\dot{v} = \frac{dv}{dt}$ であるので、

$m\frac{dv}{dt} = -bv$

変数分離をして積分します。

$\frac{dv}{v} = -\frac{b}{m}dt$

$\int \frac{dv}{v} = \int -\frac{b}{m}dt$

$\ln|v| = -\frac{b}{m}t + C$

$v = e^{-\frac{b}{m}t + C} = e^C e^{-\frac{b}{m}t}$

$e^C$ を新しい定数 $A$ とすると、

$v = Ae^{-\frac{b}{m}t}$

したがって、選択肢3 $v = -e^{-\frac{b}{m}t}$と選択肢4 $v = e^{-\frac{b}{m}t}$ は定数項を含んでいないため条件によっては解になり得ます。

(3) 初期条件を満たす解

(2)で求めた解 $v = Ae^{-\frac{b}{m}t}$ に初期条件 $v(0) = 1$ を代入します。

$1 = Ae^{-\frac{b}{m}(0)} = Ae^0 = A$

したがって、$A = 1$ となります。

よって、$v = e^{-\frac{b}{m}t}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 2.0 $m\dot{v} = -bv$

(2) 3.0 $v = -e^{-\frac{b}{m}t}$と4.0 $v = e^{-\frac{b}{m}t}$

(3) 3.0 $v = e^{-\frac{b}{m}t}$