質量 $m$ の質点が、ばね定数 $k$ のばねに繋がれており、水平面上を運動する。ばねの自然長からの質点の変位を $x$ としたとき、以下の問いに答える。 (1) 質点の運動方程式を求める。 (2) 運動方程式の解となり得るもの全てを選ぶ。 (3) 初期条件 $x(0)=1$, $v(0)=0$ を満たす解を選ぶ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、ばね定数 $k$ のばねに繋がれており、水平面上を運動する。ばねの自然長からの質点の変位を $x$ としたとき、以下の問いに答える。

(1) 質点の運動方程式を求める。

(2) 運動方程式の解となり得るもの全てを選ぶ。

(3) 初期条件 $x(0)=1$, $v(0)=0$ を満たす解を選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

質点に働く力は、ばねの復元力である。フックの法則より、復元力 $F$ は変位 $x$ に比例し、向きは変位と逆向きである。

したがって、$F = -kx$ となる。

ニュートンの運動方程式 $F = ma$ より、$ma = -kx$ となる。ここで、$a$ は加速度であり、変位 $x$ の2階微分 $\ddot{x}$ で表されるので、$m\ddot{x} = -kx$ が運動方程式となる。

(2)

(1)で求めた運動方程式は $m\ddot{x} = -kx$ である。

これを $\ddot{x} = -\frac{k}{m} x$ と変形できる。

これは単振動の微分方程式であり、一般解は $x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ の形になる。ここで、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ である。

選択肢の中でこの形になっているものを選ぶ。

選択肢3: $x = \sin(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$ これは一般解の特別な場合で、解となりうる。

選択肢5: $x = 3\cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t + \pi)$ これは一般解の特別な場合で、解となりうる。

(3)

初期条件 $x(0) = 1$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

選択肢3: $x = \sin(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

$x(0) = \sin(0) = 0$ となり、$x(0) = 1$ を満たさない。

選択肢5: $x = 3\cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t + \pi)$

$x(0) = 3\cos(\pi) = -3$ となり、$x(0) = 1$ を満たさない。

ここで、$x(t) = A\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$ が初期条件を満たすか調べる。$x(0) = A\cos(0) = A = 1$ より、$A = 1$。

$v(t) = \dot{x}(t) = -A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$ より、$v(0) = -A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin(0) = 0$ となり、$v(0)=0$ を満たす。

したがって、$x(t) = \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$ が解となる。選択肢にこれがないため、

6. どれも該当しないが答えとなる。

ただし、$x(t) = A\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi)$とおくと、$x(0) = A\cos(\phi) = 1$、$v(0) = -A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin(\phi) = 0$。したがって$\sin(\phi)=0$より$\phi = 0$または$\phi = \pi$。$\phi = 0$のとき、$A = 1$なので$x(t) = \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$。$\phi = \pi$のとき、$A = -1$なので$x(t) = -\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$。

3. 最終的な答え

(1)

2. $m\ddot{x} = -kx$

(2) 3と5

(3)

6. どれも該当しない