$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角で、$\tan \alpha = 2$, $\tan \beta = 5$, $\tan \gamma = 8$ であるとき、以下の値を求める。 (1) $\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ (2) $\alpha + \beta + \gamma$

1. 問題の内容

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角で、$\tan \alpha = 2$, $\tan \beta = 5$, $\tan \gamma = 8$ であるとき、以下の値を求める。

(1) $\tan(\alpha + \beta + \gamma)$

(2) $\alpha + \beta + \gamma$

2. 解き方の手順

(1) $\tan(\alpha + \beta)$ を求める。

加法定理より、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$

$\tan \alpha = 2$, $\tan \beta = 5$ を代入すると、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 5}{1 - 2 \cdot 5} = \frac{7}{1 - 10} = \frac{7}{-9} = -\frac{7}{9}$$

次に、$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \tan((\alpha + \beta) + \gamma)$ を求める。

加法定理より、

$$\tan((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan \gamma}$$

$\tan(\alpha + \beta) = -\frac{7}{9}$, $\tan \gamma = 8$ を代入すると、

$$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{-\frac{7}{9} + 8}{1 - (-\frac{7}{9}) \cdot 8} = \frac{-\frac{7}{9} + \frac{72}{9}}{1 + \frac{56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{9 + 56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{65}{9}} = 1$$

(2) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角なので、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, $0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ である。

したがって、$0 < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$ である。

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$ であるから、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}$ または $\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$ である。

ここで、$0 < \alpha + \beta < \pi$, $0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ であるので、$0 < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$ を満たす。

$\tan \alpha = 2 > 0$, $\tan \beta = 5 > 0$, $\tan \gamma = 8 > 0$ より、$\alpha, \beta, \gamma > 0$ である。

$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}$ と仮定すると、$\alpha, \beta, \gamma$ は正の数なので、それぞれは$\frac{\pi}{4}$より小さくなければならない。これは不可能である。なぜなら、$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ であり、$\tan \alpha, \tan \beta, \tan \gamma > 1$ であるから。

$\tan(\alpha + \beta) = -\frac{7}{9} < 0$ より、$\alpha + \beta > \frac{\pi}{2}$ である。

したがって、$\alpha + \beta + \gamma > \frac{\pi}{2}$ であるから、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}$ は不可能である。

よって、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$ である。しかし、$0 < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$ より、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$ は妥当である。

3. 最終的な答え

(1) $\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$

(2) $\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$