スカラー場 $\phi = 2xy - y^2z^2$ が与えられたとき、$\Delta \phi$ を求めよ。ここで $\Delta$ はラプラシアンを表す。

1. 問題の内容

スカラー場 $\phi = 2xy - y^2z^2$ が与えられたとき、$\Delta \phi$ を求めよ。ここで $\Delta$ はラプラシアンを表す。

2. 解き方の手順

ラプラシアンは、デカルト座標系では次のように定義されます。

$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$

まず、$\phi$ を $x$ で2回偏微分します。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2y$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = 0$

次に、$\phi$ を $y$ で2回偏微分します。

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2x - 2yz^2$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = -2z^2$

最後に、$\phi$ を $z$ で2回偏微分します。

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = -2y^2z$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = -2y^2$

したがって、

$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 - 2z^2 - 2y^2$

3. 最終的な答え

$\Delta \phi = -2y^2 - 2z^2$