質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を運動しており、$x$ 軸と逆向きに一定の大きさ $F$ の力が作用している。 (1) 運動方程式を求める。 (2) 運動方程式の解となり得るものを全て選ぶ。 (3) 初期条件 $x(0) = 0$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を運動しており、$x$ 軸と逆向きに一定の大きさ $F$ の力が作用している。

(1) 運動方程式を求める。

(2) 運動方程式の解となり得るものを全て選ぶ。

(3) 初期条件 $x(0) = 0$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式

ニュートンの運動方程式は $F = ma$ と表される。ここで、$a$ は加速度であり、$x$ の二階微分 $\ddot{x}$ で表せる。

問題文では、$x$ 軸と逆向きに力が作用しているため、運動方程式は以下のようになる。

$m\ddot{x} = -F$

したがって、選択肢2が正しい。

(2) 運動方程式の解

運動方程式 $m\ddot{x} = -F$ を解く。

$\ddot{x} = -\frac{F}{m}$

これを時間 $t$ で積分すると、速度 $v(t)$ が得られる。

$v(t) = \int \ddot{x} dt = -\frac{F}{m}t + C_1$

ここで、$C_1$ は積分定数である。

さらに時間 $t$ で積分すると、位置 $x(t)$ が得られる。

$x(t) = \int v(t) dt = -\frac{F}{2m}t^2 + C_1t + C_2$

ここで、$C_2$ は積分定数である。

したがって、運動方程式の解は $x(t) = -\frac{F}{2m}t^2 + C_1t + C_2$ という形になる。

選択肢の中でこの形を満たすのは以下のものがある。

- $x = -\frac{F}{2m}t^2 + 2$ ($C_1 = 0$, $C_2 = 2$)

- $x = -\frac{F}{2m}t^2$ ($C_1 = 0$, $C_2 = 0$)

- $x = -\frac{F}{2m}t^2 + t$ ($C_1 = 1$, $C_2 = 0$)

(3) 初期条件を満たす解

初期条件 $x(0) = 0$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

$v(0) = 0$ より、

$v(0) = -\frac{F}{m}(0) + C_1 = 0$

したがって、$C_1 = 0$

$x(0) = 0$ より、

$x(0) = -\frac{F}{2m}(0)^2 + C_1(0) + C_2 = 0$

したがって、$C_2 = 0$

よって、$x(t) = -\frac{F}{2m}t^2$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

2. $m\ddot{x} = -F$

(2) 1,2,4

(3)

2. $x = -\frac{F}{2m}t^2$