質量 $m$ の質点が、一端を固定された水平なバネにつながれている。バネ定数は $k$ であり、バネの自然長からの質点の変位を $x$ とする。以下の問いに答える。 (1) 質点の満たす運動方程式を求める。 (2) 運動方程式の解となり得るものを全て選択する。 (3) 初期条件 $x(0) = 1$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、一端を固定された水平なバネにつながれている。バネ定数は $k$ であり、バネの自然長からの質点の変位を $x$ とする。以下の問いに答える。

(1) 質点の満たす運動方程式を求める。

(2) 運動方程式の解となり得るものを全て選択する。

(3) 初期条件 $x(0) = 1$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式

バネの力は $F = -kx$ で与えられる。

ニュートンの運動方程式 $F = ma$ より、$ma = -kx$ となる。

ここで、$a = \ddot{x}$ (xの2階時間微分) であるから、$m\ddot{x} = -kx$ が運動方程式である。

(2) 解の候補

運動方程式 $m\ddot{x} = -kx$ は、単振動の式である。

$\ddot{x} = -\frac{k}{m}x$

一般解は $x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ の形である。ただし、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 。

選択肢を検討する。

1. $x = \frac{k}{m}t^2$: これは2次関数であり、単振動ではない。

2. $x = -\frac{k}{m}t^2 + t$: これも2次関数であり、単振動ではない。

3. $x = \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$: これは正弦波であり、単振動の解の形をしている。

4. $x = \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + 1$: これは正弦波を平行移動したものであり、単振動の解の形をしている。

5. $x = 3\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \pi)$: これは余弦波であり、単振動の解の形をしている。

よって、3, 4, 5が解の候補となる。

(3) 初期条件を満たす解

$x(0) = 1$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

3. $x = \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$ のとき

$x(0) = \sin(0) = 0 \neq 1$ なので、初期条件を満たさない。

4. $x = \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + 1$ のとき

$x(0) = \sin(0) + 1 = 1$ となり、$x(0) = 1$ は満たす。

$v(t) = \frac{d}{dt}x(t) = \sqrt{\frac{k}{m}}\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$

$v(0) = \sqrt{\frac{k}{m}}\cos(0) = \sqrt{\frac{k}{m}} \neq 0$ なので、$v(0) = 0$ を満たさない。

5. $x = 3\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \pi)$ のとき

$x(0) = 3\cos(\pi) = 3(-1) = -3 \neq 1$ なので、$x(0) = 1$ を満たさない。

初期条件を満たすものが存在しないので、

6. どれも該当しないが正解である。

3. 最終的な答え

(1) $m\ddot{x} = -kx$

(2) 3, 4, 5

(3) 6