図1のように、$x$軸上を運動する物体があり、その速度$v$と時間$t$の関係が図2のグラフで表されています。時刻$t=0$で物体は原点Oを通過します。 (1) 時刻0秒から4秒までの加速度を求め、そのときの物体の速さが0秒のときと比べて速くなっているか、遅くなっているかを答えます。 (2) 時刻4秒から10秒までの加速度を求め、そのときの物体の速さが4秒のときと比べて速くなっているか、遅くなっているかを答えます。 (3) 時刻0秒から10秒までの間で、物体が到達する位置の最大値を求めます。 (4) 物体が再び原点に戻ってくる時刻を求めます。

1. 問題の内容

図1のように、$x$軸上を運動する物体があり、その速度$v$と時間$t$の関係が図2のグラフで表されています。時刻$t=0$で物体は原点Oを通過します。

(1) 時刻0秒から4秒までの加速度を求め、そのときの物体の速さが0秒のときと比べて速くなっているか、遅くなっているかを答えます。

(2) 時刻4秒から10秒までの加速度を求め、そのときの物体の速さが4秒のときと比べて速くなっているか、遅くなっているかを答えます。

(3) 時刻0秒から10秒までの間で、物体が到達する位置の最大値を求めます。

(4) 物体が再び原点に戻ってくる時刻を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 加速度は、$v$-$t$グラフの傾きで求められます。

0秒から4秒までの加速度 $a_1$は、

$a_1 = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 20}{4 - 0} = \frac{-20}{4} = -5 \text{ m/s}^2$

0秒から4秒の間、速度は20 m/sから0 m/sへと減少しているので、速さは遅くなっています。

(2) 4秒から10秒までの加速度 $a_2$は、

$a_2 = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{-20 - 0}{10 - 4} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \text{ m/s}^2$

4秒から10秒の間、速度は0 m/sから-20 m/sへと変化しているので、速さは速くなっています。

(3) 位置の最大値は、$v = 0$となる時刻で起こります。$v$-$t$グラフより、$t = 4$秒で$v = 0$になります。

$t = 0$から$t = 4$秒までの変位$\Delta x_1$は、$v$-$t$グラフの面積で求められます。

$\Delta x_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 20 = 40 \text{ m}$

したがって、位置の最大値は40 mです。

(4) 物体が原点に戻ってくるのは、変位が0になるときです。

$t = 0$から$t = 10$秒までの変位$\Delta x_2$は、

$\Delta x_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 20 + \frac{1}{2} \times 6 \times (-20) = 40 - 60 = -20 \text{ m}$

$t > 10$で、加速度は$a_2 = -\frac{10}{3} \text{ m/s}^2$で一定なので、速度$v$は

$v = v_0 + a_2 t' = -20 - \frac{10}{3} t'$

ここで、$t'$は$t=10$秒からの経過時間です。

位置$x$は、

$x = x_0 + v_0 t' + \frac{1}{2} a_2 t'^2 = -20 -20 t' - \frac{5}{3} t'^2$

原点に戻るのは、$x = 0$となる時刻なので、

$0 = -20 - 20 t' - \frac{5}{3} t'^2$

$0 = 60 + 60 t' + 5 t'^2$

$0 = t'^2 + 12 t' + 12$

$t' = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 48}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -6 \pm 2\sqrt{6}$

$t' > 0$より、$t' = -6 + 2\sqrt{6} \approx -6 + 2(2.45) = -6 + 4.9 = -1.1$

これは誤りなので、別の解法を試みます。

変位が0になるときを考える。

$0 = \frac{1}{2} t_1 \times 20 + \frac{1}{2} (t_2 - t_1) \times v_2 = 0$, $t_1 = 4$

$40 + \frac{1}{2} (t - 4) v = 0$

$t - 4$秒後の速度$v$は$v = a (t - 4) = -\frac{10}{3} (t - 4)$

$40 - \frac{5}{3} (t-4)^2 = 0$

$(t-4)^2 = 24$

$t - 4 = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$

$t = 4 \pm 2\sqrt{6}$

$t > 4$より、$t = 4 + 2\sqrt{6} \approx 4 + 4.9 = 8.9$

これは誤り。面積が等しくなるようにする。

$\frac{1}{2} \times 4 \times 20 = \frac{1}{2} \times (t-4) \times |v|$

$40 = \frac{1}{2} \times (t-4) \times \frac{10}{3} (t-4)$

$24 = (t-4)^2$

$t-4 = \pm 2\sqrt{6}$

$t = 4+2\sqrt{6} = 4+2(2.449) \approx 4 + 4.898 = 8.898$

$t = 4+2\sqrt{6} \approx 8.9$

3. 最終的な答え

(1) 加速度: -5 m/s$^2$, 速さは遅くなっている。

(2) 加速度: -10/3 m/s$^2$, 速さは速くなっている。

(3) 位置の最大値: 40 m

(4) 原点に戻ってくる時刻: $4+2\sqrt{6}$ 秒