需要量 $x$、供給量 $y$、価格 $p$ とし、需要曲線が $x = 180 - p$、供給曲線が $y = 2p$ で与えられている。政府が価格の下限を80に設定したときの生産者余剰の大きさを求める。

## 問題9

1. 問題の内容

需要量 $x$、供給量 $y$、価格 $p$ とし、需要曲線が $x = 180 - p$、供給曲線が $y = 2p$ で与えられている。政府が価格の下限を80に設定したときの生産者余剰の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、価格の下限が設定されていない場合の均衡点を求める。均衡点では需要量と供給量が等しくなるので、

$x = y$

$180 - p = 2p$

$180 = 3p$

$p = 60$

均衡価格は60である。このとき、均衡数量は

$y = 2 \times 60 = 120$

価格の下限が80に設定された場合、価格は80となる。このときの供給量は、

$y = 2 \times 80 = 160$

価格下限が設定される前の生産者余剰は、均衡価格60、均衡数量120の時の生産者余剰である。供給曲線は $y = 2p$ であり、$p = \frac{y}{2}$ と表せる。生産者余剰は、価格と供給曲線の間の領域の面積なので、

$\text{生産者余剰} = 60 \times 120 - \int_0^{120} \frac{y}{2} dy = 7200 - \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2}]_0^{120} = 7200 - \frac{1}{4}(120)^2 = 7200 - \frac{1}{4} (14400) = 7200 - 3600 = 3600$

価格下限が設定された後の生産者余剰は、価格80、供給量160の時の生産者余剰である。

$\text{生産者余剰} = 80 \times 160 - \int_0^{160} \frac{y}{2} dy = 12800 - \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2}]_0^{160} = 12800 - \frac{1}{4}(160)^2 = 12800 - \frac{1}{4}(25600) = 12800 - 6400 = 6400$

よって、価格の下限が設定されたことによる生産者余剰の大きさは、

$6400 - 3600 = 2800$

## 問題10

1. 問題の内容

需要量 $x$、供給量 $y$、価格 $p$ とし、需要曲線が $x = 34 - 2p$、供給曲線が $y = -10 + 2p$ で与えられている。政府が消費者に財の価格の20%の従価税を課すことにしたときの、課税による死荷重の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、課税前の均衡点を求める。均衡点では需要量と供給量が等しくなるので、

$x = y$

$34 - 2p = -10 + 2p$

$44 = 4p$

$p = 11$

均衡価格は11である。このとき、均衡数量は

$x = 34 - 2 \times 11 = 34 - 22 = 12$

次に、20%の従価税が課せられた後の供給曲線を求める。消費者が支払う価格を $p_c$ 、生産者が受け取る価格を $p_s$ とすると、$p_c = p_s + 0.2p_c$ となる。よって、$0.8p_c = p_s$ 、つまり、$p_c = \frac{p_s}{0.8} = 1.25p_s$ となる。課税後の均衡点を求めるためには、$x = 34 - 2p_c$ と $y = -10 + 2p_s$ を連立させる。

$34 - 2p_c = -10 + 2p_s$

$34 - 2(1.25p_s) = -10 + 2p_s$

$34 - 2.5p_s = -10 + 2p_s$

$44 = 4.5p_s$

$p_s = \frac{44}{4.5} = \frac{88}{9} \approx 9.78$

このときの数量は、

$y = -10 + 2(\frac{88}{9}) = -10 + \frac{176}{9} = \frac{-90 + 176}{9} = \frac{86}{9} \approx 9.56$

$p_c = 1.25p_s = 1.25 \times \frac{88}{9} = \frac{5}{4} \times \frac{88}{9} = \frac{110}{9} \approx 12.22$

死荷重は、$DWL = \frac{1}{2} \times (\text{課税額}) \times (\text{数量の変化})$

課税額 $= p_c - p_s = \frac{110}{9} - \frac{88}{9} = \frac{22}{9}$

数量の変化 $= 12 - \frac{86}{9} = \frac{108 - 86}{9} = \frac{22}{9}$

$DWL = \frac{1}{2} \times \frac{22}{9} \times \frac{22}{9} = \frac{1}{2} \times \frac{484}{81} = \frac{242}{81} \approx 2.99$

より正確に求めるには、

需要関数は $x = 34 - 2p$ より $p = 17 - \frac{x}{2}$

供給関数は $y = -10 + 2p$ より $p = 5 + \frac{y}{2}$

死荷重は、課税による消費者余剰と生産者余剰の減少の合計。

$p = 11, x=12$ から、課税後、$p_c = \frac{110}{9}, x=\frac{86}{9}$

$DWL = \frac{1}{2} \times (\text{税額}) \times (\text{数量減少}) = \frac{1}{2} \times (0.2 \times \frac{110}{9}) \times (12-\frac{86}{9}) = \frac{1}{2} \times \frac{22}{9} \times \frac{22}{9} = \frac{242}{81} = 2.987654 \approx 3$

3. 最終的な答え

問題9：2800

問題10：3