xy平面内を運動する物体に力 $\vec{F} = (2y, 1)$ が働いている。 (1) 原点Oから点A(1, 0)を通り、点B(1, 1)へ直線で移動する経路$C_1$に沿って移動するときの、力$\vec{F}$のなす仕事を求める。 (2) 原点Oから点B(1, 1)へ直線で移動する経路$C_2$に沿って移動するときの、力$\vec{F}$のなす仕事を求める。

1. 問題の内容

xy平面内を運動する物体に力 $\vec{F} = (2y, 1)$ が働いている。

(1) 原点Oから点A(1, 0)を通り、点B(1, 1)へ直線で移動する経路$C_1$に沿って移動するときの、力$\vec{F}$のなす仕事を求める。

(2) 原点Oから点B(1, 1)へ直線で移動する経路$C_2$に沿って移動するときの、力$\vec{F}$のなす仕事を求める。

2. 解き方の手順

(1) 経路 $C_1$に沿った仕事

経路$C_1$はO→AとA→Bの2つの部分に分けられます。

O→Aの経路では、y = 0なので、$\vec{F} = (0, 1)$。dxは1から0へ変化し、dy = 0です。

仕事 $W_{OA}$ は、

$W_{OA} = \int_0^1 (2y dx + 1 dy) = \int_0^1 (0 dx + 1 \cdot 0) = 0$

A→Bの経路では、x = 1なので、dx = 0。dyは0から1へ変化します。$\vec{F} = (2y, 1)$です。

仕事 $W_{AB}$ は、

$W_{AB} = \int_0^1 (2y dx + 1 dy) = \int_0^1 (2y \cdot 0 + 1 dy) = \int_0^1 dy = [y]_0^1 = 1 - 0 = 1$

したがって、経路$C_1$に沿った仕事$W_1$は、

$W_1 = W_{OA} + W_{AB} = 0 + 1 = 1$

(2) 経路 $C_2$に沿った仕事

経路$C_2$は原点O(0, 0)から点B(1, 1)への直線です。

この経路は$y = x$と表せるので、$dy = dx$。$\vec{F} = (2y, 1) = (2x, 1)$となります。xは0から1へ変化します。

仕事 $W_2$ は、

$W_2 = \int_0^1 (2y dx + 1 dy) = \int_0^1 (2x dx + 1 dx) = \int_0^1 (2x + 1) dx = [x^2 + x]_0^1 = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2$

3. 最終的な答え

(1) 経路 $C_1$ に沿って物体がOからBまで移動するときの、力$\vec{F}$のなす仕事: 1

(2) 経路 $C_2$ に沿って物体がOからBまで移動するときの、力$\vec{F}$のなす仕事: 2