図1のようなマノメータにおいて、配管の図に示す位置での圧力 $p$ を求めます。水の密度 $\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3$、水銀の密度 $\rho_{Hg} = 13600 \, \text{kg/m}^3$、重力加速度 $g = 9.80 \, \text{m/s}^2$ とします。大気圧は $p_0 = 765 \, \text{mmHg}$ であり、これは水銀柱で $765 \, \text{mm}$ に相当します。

1. 問題の内容

図1のようなマノメータにおいて、配管の図に示す位置での圧力 $p$ を求めます。水の密度 $\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3$、水銀の密度 $\rho_{Hg} = 13600 \, \text{kg/m}^3$、重力加速度 $g = 9.80 \, \text{m/s}^2$ とします。大気圧は $p_0 = 765 \, \text{mmHg}$ であり、これは水銀柱で $765 \, \text{mm}$ に相当します。

2. 解き方の手順

* 点Aと点Bの圧力は等しいので、$P_A = P_B$

* 点Aの圧力は、$p + \rho_w g h_w$ (ただし、$h_w$は水柱の高さ)

* 点Bの圧力は、$p_0 + \rho_{Hg} g h_{Hg}$ (ただし、$h_{Hg}$は水銀柱の高さ)

* $p_0$は、$765 \, \text{mmHg}$なので$765 \times 10^{-3} \, \text{m}$の水銀柱に相当する。

* したがって、$p_0 = \rho_{Hg} g (765 \times 10^{-3})$

* 与えられた情報から、$h_w = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}$ と $h_{Hg} = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m}$

* 圧力の釣り合いの式を立てると以下のようになります。

$p + \rho_w g h_w = p_0 + \rho_{Hg} g h_{Hg}$

$p + \rho_w g h_w = \rho_{Hg} g (765 \times 10^{-3}) + \rho_{Hg} g h_{Hg}$

$p = \rho_{Hg} g (0.765) + \rho_{Hg} g (0.5) - \rho_w g (0.2)$

$p = \rho_{Hg} g (0.765+0.5) - \rho_w g (0.2)$

$p = g [ \rho_{Hg} (1.265) - \rho_w (0.2) ]$

$p = 9.80 [13600 \times 1.265 - 1000 \times 0.2]$

$p = 9.80 [17274 - 200]$

$p = 9.80 [17074]$

$p = 167325.2 \, \text{Pa}$

3. 最終的な答え

$p = 167325.2 \, \text{Pa}$