断面が滑らかに拡大している配管があり、流量 $Q = 9.2 \, \text{l/min}$ である。断面1, 2, 3 の直径はそれぞれ $50 \, \text{mm}$, $70 \, \text{mm}$, $90 \, \text{mm}$ である。各断面での流速を求める。

1. 問題の内容

断面が滑らかに拡大している配管があり、流量 $Q = 9.2 \, \text{l/min}$ である。断面1, 2, 3 の直径はそれぞれ $50 \, \text{mm}$, $70 \, \text{mm}$, $90 \, \text{mm}$ である。各断面での流速を求める。

2. 解き方の手順

(1) 流量 $Q$ を単位 $\text{m}^3/\text{s}$ に変換する。

$Q = 9.2 \, \text{l/min} = 9.2 \times \frac{10^{-3} \, \text{m}^3}{60 \, \text{s}} = \frac{9.2}{60000} \, \text{m}^3/\text{s} \approx 1.533 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s}$

(2) 各断面の面積 $A_i$ を計算する。ここで、$i = 1, 2, 3$ は断面の番号を示す。断面の直径を $d_i$ とすると、半径は $r_i = d_i/2$ であり、面積は $A_i = \pi r_i^2 = \pi (d_i/2)^2 = \frac{\pi}{4} d_i^2$ である。

$A_1 = \frac{\pi}{4} (50 \times 10^{-3} \, \text{m})^2 = \frac{\pi}{4} (2500 \times 10^{-6}) \, \text{m}^2 \approx 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$

$A_2 = \frac{\pi}{4} (70 \times 10^{-3} \, \text{m})^2 = \frac{\pi}{4} (4900 \times 10^{-6}) \, \text{m}^2 \approx 3.848 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$

$A_3 = \frac{\pi}{4} (90 \times 10^{-3} \, \text{m})^2 = \frac{\pi}{4} (8100 \times 10^{-6}) \, \text{m}^2 \approx 6.362 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$

(3) 各断面の流速 $v_i$ を計算する。流量 $Q$ は $Q = A_i v_i$ で与えられるので、$v_i = \frac{Q}{A_i}$ である。

$v_1 = \frac{1.533 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s}}{1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2} \approx 0.0781 \, \text{m/s}$

$v_2 = \frac{1.533 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s}}{3.848 \times 10^{-3} \, \text{m}^2} \approx 0.0398 \, \text{m/s}$

$v_3 = \frac{1.533 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s}}{6.362 \times 10^{-3} \, \text{m}^2} \approx 0.0241 \, \text{m/s}$

3. 最終的な答え

断面1の流速: $0.0781 \, \text{m/s}$

断面2の流速: $0.0398 \, \text{m/s}$

断面3の流速: $0.0241 \, \text{m/s}$