図3に示すマノメータにおいて、タンクAとB内の圧力 $p_A$ と $p_B$ の差 $p_A - p_B$ を、水の密度 $\rho$、水銀の密度 $\rho_g$、重力加速度 $g$、高さ $H$、高さ $h$ を用いて文字式で表し、さらに具体的な数値を代入して $p_A - p_B$ の値を求める問題です。ただし、$H = 600 \text{ mm} = 0.6 \text{ m}$、$h = 280 \text{ mm} = 0.28 \text{ m}$、$\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$、$\rho_g = 13600 \text{ kg/m}^3$、$g = 9.80 \text{ m/s}^2$ です。

1. 問題の内容

図3に示すマノメータにおいて、タンクAとB内の圧力 $p_A$ と $p_B$ の差 $p_A - p_B$ を、水の密度 $\rho$、水銀の密度 $\rho_g$、重力加速度 $g$、高さ $H$、高さ $h$ を用いて文字式で表し、さらに具体的な数値を代入して $p_A - p_B$ の値を求める問題です。ただし、$H = 600 \text{ mm} = 0.6 \text{ m}$、$h = 280 \text{ mm} = 0.28 \text{ m}$、$\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$、$\rho_g = 13600 \text{ kg/m}^3$、$g = 9.80 \text{ m/s}^2$ です。

2. 解き方の手順

C点とD点の圧力の関係に着目します。

C点の圧力 $p_C$ は、$p_A$ に、AからCまでの水の柱による圧力が加わったものです。

$p_C = p_A + \rho g H$

D点の圧力 $p_D$ は、$p_B$ に、BからDまでの水の柱による圧力と、水銀柱による圧力が加わったものです。

$p_D = p_B + \rho g (H-h) + \rho_g g h$

C点とD点の圧力は等しいので、$p_C = p_D$ が成り立ちます。

$p_A + \rho g H = p_B + \rho g (H-h) + \rho_g g h$

上式を $p_A - p_B$ について解くと、次のようになります。

$p_A - p_B = \rho g (H-h) + \rho_g g h - \rho g H$

$p_A - p_B = - \rho g h + \rho_g g h$

$p_A - p_B = (\rho_g - \rho) g h$

数値を代入します。

$p_A - p_B = (13600 \text{ kg/m}^3 - 1000 \text{ kg/m}^3) \times 9.80 \text{ m/s}^2 \times 0.28 \text{ m}$

$p_A - p_B = (12600 \text{ kg/m}^3) \times 9.80 \text{ m/s}^2 \times 0.28 \text{ m}$

$p_A - p_B = 34540.8 \text{ Pa}$

3. 最終的な答え

$p_A - p_B = (\rho_g - \rho) g h$

$p_A - p_B = 34540.8 \text{ Pa}$