長さ $l$ の弦が張力 $S$ で張られている。弦の一端から $x$ の位置に質量 $m$ のおもりをつけ、水平面内で糸に垂直な方向に微小振動させた。このときの周期を $x$ の関数として求める。 $\theta_1$, $\theta_2$ は小さいので、$\theta_1 \approx y/x$, $\theta_2 \approx y/(l-x)$ であり、微小振動の場合、$S$ は一定である。

1. 問題の内容

長さ $l$ の弦が張力 $S$ で張られている。弦の一端から $x$ の位置に質量 $m$ のおもりをつけ、水平面内で糸に垂直な方向に微小振動させた。このときの周期を $x$ の関数として求める。

$\theta_1$, $\theta_2$ は小さいので、$\theta_1 \approx y/x$, $\theta_2 \approx y/(l-x)$ であり、微小振動の場合、$S$ は一定である。

2. 解き方の手順

おもりに働く力のつり合いを考える。微小振動なので、水平方向の力のみを考慮する。

おもりには、左側の弦から張力 $S$ が角度 $\theta_1$ で、右側の弦から張力 $S$ が角度 $\theta_2$ で働いている。水平方向の力の合力は、

$F = -S\sin\theta_1 + S\sin\theta_2$

微小振動なので、$\sin\theta \approx \theta$ と近似できる。

$F \approx -S\theta_1 + S\theta_2$

問題文のヒントより、$\theta_1 \approx y/x$, $\theta_2 \approx y/(l-x)$ なので、

$F \approx -S\frac{y}{x} + S\frac{y}{l-x} = Sy(\frac{1}{l-x} - \frac{1}{x}) = Sy(\frac{x - (l-x)}{x(l-x)}) = Sy(\frac{2x - l}{x(l-x)})$

$F = m\ddot{y}$ より、

$m\ddot{y} = Sy(\frac{2x - l}{x(l-x)})$

$\ddot{y} = \frac{S(2x-l)}{m x(l-x)}y$

これは単振動の式 $\ddot{y} = -\omega^2 y$ と比較すると、

$\omega^2 = -\frac{S(2x-l)}{m x(l-x)}$

もし、$l/2 < x < l$ ならば、$2x - l > 0$ なので $\omega^2 < 0$ となってしまい、単振動にならない。

$0 < x < l/2$ の場合、$2x - l < 0$ となるので、

$\omega^2 = \frac{S(l-2x)}{m x(l-x)}$

$\omega = \sqrt{\frac{S(l-2x)}{m x(l-x)}}$

周期 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ なので、

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m x(l-x)}{S(l-2x)}}$

3. 最終的な答え

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m x(l-x)}{S(l-2x)}}$