図に示すようなマノメータにおいて、配管内の圧力 $P_A$ を求める問題です。与えられている値は、水の密度 $\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3$、水銀の密度 $\rho_{Hg} = 13600 \, \text{kg/m}^3$、重力加速度 $g = 9.80 \, \text{m/s}^2$、そして水銀柱の高さ $h = 0.10 \, \text{m}$ (10cm)です。

1. 問題の内容

図に示すようなマノメータにおいて、配管内の圧力 $P_A$ を求める問題です。与えられている値は、水の密度 $\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3$、水銀の密度 $\rho_{Hg} = 13600 \, \text{kg/m}^3$、重力加速度 $g = 9.80 \, \text{m/s}^2$、そして水銀柱の高さ $h = 0.10 \, \text{m}$ (10cm)です。

2. 解き方の手順

まず、マノメータの原理を理解します。マノメータは、液体の圧力差を利用して気体や液体の圧力を測定する器具です。今回は、水銀のマノメータで配管内の圧力を測定しています。

配管内の圧力を $P_A$ とし、大気圧を $P_0$ とします。マノメータの左側の水銀柱の底における圧力と、右側の水銀柱の底における圧力は等しくなります。

左側の水銀柱の底における圧力は、$P_A$ に $0.02m$分の水の圧力と、$h$分の水銀の圧力が加わったものです。右側の水銀柱の底における圧力は大気圧 $P_0$に$h+0.02m$分の水の圧力が加わったものです。

従って、以下の式が成り立ちます。

$P_A + \rho_w \cdot g \cdot 0.02 + \rho_{Hg} \cdot g \cdot h = P_0 + \rho_w \cdot g \cdot (h+0.02)$

$P_A = P_0 + \rho_w \cdot g \cdot h + \rho_w \cdot g \cdot 0.02 - \rho_w \cdot g \cdot 0.02 - \rho_{Hg} \cdot g \cdot h$

$P_A = P_0 + g \cdot h \cdot (\rho_w - \rho_{Hg})$

$P_A = P_0 + 9.80 \cdot 0.10 \cdot (1000 - 13600)$

$P_A = P_0 + 9.80 \cdot 0.10 \cdot (-12600)$

$P_A = P_0 - 12348$

$P_A - P_0 = -12348 \, Pa$

配管の圧力 $P_A$ は大気圧 $P_0$ よりも $12348 \, Pa$ 低いことになります。

3. 最終的な答え

$P_A = P_0 - 12348 \, \text{Pa}$

配管の圧力は、大気圧より 12348 Pa 低い。