問題1は、ベクトル場 $\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ の閉曲面 $S$ 上の面積分 $\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求める問題です。ここで、$S$ は原点を中心とする半径 $a$ の球面です。 問題2は、$\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ が成り立つとき、選択肢(1)～(5)の中から条件を満たすベクトル場 $\mathbf{A}$ を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

問題1は、ベクトル場 $\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ の閉曲面 $S$ 上の面積分 $\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求める問題です。ここで、$S$ は原点を中心とする半径 $a$ の球面です。

問題2は、$\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ が成り立つとき、選択肢(1)～(5)の中から条件を満たすベクトル場 $\mathbf{A}$ を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

球面座標系を使用します。

$\mathbf{r} = (x, y, z) = (a\sin\theta\cos\phi, a\sin\theta\sin\phi, a\cos\theta)$

$d\mathbf{S} = \mathbf{n}dS = (a\sin\theta\cos\phi, a\sin\theta\sin\phi, a\cos\theta) a^2\sin\theta d\theta d\phi = \mathbf{r} a \sin \theta d \theta d \phi$

$\mathbf{A} = (x^2, 2, z) = (a^2\sin^2\theta\cos^2\phi, 2, a\cos\theta)$

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = (a^2\sin^2\theta\cos^2\phi, 2, a\cos\theta) \cdot (a\sin\theta\cos\phi, a\sin\theta\sin\phi, a\cos\theta) a^2\sin\theta d\theta d\phi = (a^5\sin^3\theta\cos^3\phi + 2a^3\sin\theta\sin\phi + a^4\cos^2\theta\sin\theta)d\theta d\phi$

$\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} (a^5\sin^3\theta\cos^3\phi + 2a^3\sin\theta\sin\phi + a^4\cos^2\theta\sin\theta)\ d\theta d\phi$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} a^5\sin^3\theta\cos^3\phi\ d\theta d\phi + \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} 2a^3\sin\theta\sin\phi \ d\theta d\phi + \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} a^4\cos^2\theta\sin\theta\ d\theta d\phi$

$\int_0^{2\pi} \cos^3\phi d\phi = 0$ なので第一項目はゼロ。

$\int_0^{2\pi} \sin\phi d\phi = 0$ なので第二項目はゼロ。

$\int_0^{\pi} \cos^2\theta\sin\theta d\theta = [-\frac{1}{3}\cos^3\theta]_0^\pi = -\frac{1}{3}(-1 - 1) = \frac{2}{3}$

$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$

したがって、

$\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} a^4\cos^2\theta\sin\theta\ d\theta d\phi = a^4 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi a^4}{3}$

問題2：

与えられた式 $\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ を満たす $\mathbf{A}$ を選択肢から選びます。

(1) $\mathbf{A} = (-2, 1, 4)$ のとき、$\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \mathbf{A} \cdot \oint_S r^2 d\mathbf{S}$。$d\mathbf{S}= \mathbf{n} dS$とすると $\oint_S d\mathbf{S} = 0$,なので、$\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}=0$。$\int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV = \mathbf{A} \cdot \int_V \mathbf{r} dV = \mathbf{A} \cdot 0 = 0$ なので、この式は成立します。

(2) $\mathbf{A} = (x, -y, y)$ のとき、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = x^2 - y^2 + yz$

(3) $\mathbf{A} = \mathbf{r} = (x, y, z)$ のとき、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = x^2 + y^2 + z^2 = r^2$

左辺: $\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \oint_S r^2 \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = \oint_S r^2 \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} dS = \oint_S r^2 r dS = a^3 \oint_S dS = a^3(4\pi a^2) = 4\pi a^5$

右辺: $2 \int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV = 2 \int_V r^2 dV = 2 \int_0^a \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} r^2 (r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi) = 2 \int_0^a r^4 dr \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi = 2 (\frac{a^5}{5}) (2)(2\pi) = \frac{8\pi a^5}{5}$

したがって、左辺と右辺が異なるので、この選択肢は正しくありません。

(4) $\mathbf{A} = \frac{\mathbf{r}}{r^2} = (\frac{x}{r^2}, \frac{y}{r^2}, \frac{z}{r^2})$ のとき、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = \frac{r^2}{r^2} = 1$

(5) $\mathbf{A} = \frac{\mathbf{r}}{r^3} = (\frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3})$ のとき、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = \frac{r^2}{r^3} = \frac{1}{r}$

$\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ を満たすのは、$\mathbf{A}=(-2,1,4)$ のときである。

3. 最終的な答え

問題1：$\frac{4\pi a^4}{3}$

問題2：(1)