正弦波が $x$ 軸正の向きに速さ $v$ で伝わる時、各点の媒質の変位を単振動の式で表す。 (1) 原点($x=0$)にある媒質の時刻 $t$ における変位 $y$ を、角振動数 $\omega$ を用いて表す。ただし、$t=0$ で振動の中心を上向きに通過。 (2) 角振動数 $\omega$ を、単振動の周期 $T$ で表す。 (3) (1) の式を、振幅 $A$、周期 $T$、$t$ で表す。 (4) 原点より $x$ だけ離れた点にある媒質は、原点にある媒質と比べて時間がいくら遅れて単振動をするか。 (5) 位置 $x$ にある媒質の、時刻 $t$ における変位 $y$ を表す式を書け。 (6) この正弦波が速さ $v$ で $x$ 軸の負の向きへ進むとき、(5)の式はどのように書けるか。

1. 問題の内容

正弦波が $x$ 軸正の向きに速さ $v$ で伝わる時、各点の媒質の変位を単振動の式で表す。

(1) 原点($x=0$)にある媒質の時刻 $t$ における変位 $y$ を、角振動数 $\omega$ を用いて表す。ただし、$t=0$ で振動の中心を上向きに通過。

(2) 角振動数 $\omega$ を、単振動の周期 $T$ で表す。

(3) (1) の式を、振幅 $A$、周期 $T$、$t$ で表す。

(4) 原点より $x$ だけ離れた点にある媒質は、原点にある媒質と比べて時間がいくら遅れて単振動をするか。

(5) 位置 $x$ にある媒質の、時刻 $t$ における変位 $y$ を表す式を書け。

(6) この正弦波が速さ $v$ で $x$ 軸の負の向きへ進むとき、(5)の式はどのように書けるか。

2. 解き方の手順

(1) 原点 $x=0$ の媒質は、時刻 $t=0$ で振動の中心を上向きに通過しているので、変位 $y$ は正弦関数で表される。振幅は $A$、角振動数は $\omega$ なので、

$y = A\sin(\omega t)$

(2) 角振動数 $\omega$ と周期 $T$ の関係は、

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

(3) (1)の式に (2) の結果を代入すると、

$y = A\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$

(4) 正弦波が $x$ だけ進むのにかかる時間は $t = \frac{x}{v}$ である。従って、原点より $x$ だけ離れた点にある媒質は、原点にある媒質と比べて $\frac{x}{v}$ だけ遅れて単振動をする。

(5) 位置 $x$ にある媒質の時刻 $t$ における変位 $y$ は、原点にある媒質の時刻 $t - \frac{x}{v}$ における変位に等しいので、(1) の結果を用いると、

$y = A\sin\left[\omega\left(t - \frac{x}{v}\right)\right] = A\sin\left(\omega t - \frac{\omega x}{v}\right)$

ここで、$\omega = \frac{2\pi}{T}$ であり、$v = \frac{\lambda}{T}$ ($\lambda$ は波長) より、$\frac{\omega}{v} = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{\lambda} = \frac{2\pi}{\lambda}$ であるから、

$y = A\sin\left(\omega t - \frac{2\pi}{\lambda}x\right)$

(6) 正弦波が $x$ 軸の負の向きへ進む場合は、$x$ を $-x$ で置き換える。

$y = A\sin\left[\omega t - \frac{2\pi}{\lambda}(-x)\right] = A\sin\left(\omega t + \frac{2\pi}{\lambda}x\right)$

3. 最終的な答え

(1) $y = A\sin(\omega t)$

(2) $\omega = \frac{2\pi}{T}$

(3) $y = A\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$

(4) $\frac{x}{v}$

(5) $y = A\sin\left(\omega t - \frac{2\pi}{\lambda}x\right)$

(6) $y = A\sin\left(\omega t + \frac{2\pi}{\lambda}x\right)$