人が西向きに $1.0 \text{ m/s}$ で歩くと、風は北東から吹いているように感じる。人が西向きに $4.0 \text{ m/s}$ で走ると、風は北から吹いているように感じる。このとき、風の速さを求める。

1. 問題の内容

人が西向きに $1.0 \text{ m/s}$ で歩くと、風は北東から吹いているように感じる。人が西向きに $4.0 \text{ m/s}$ で走ると、風は北から吹いているように感じる。このとき、風の速さを求める。

2. 解き方の手順

風の速度を $(v_x, v_y)$ とする。

人が西向きに $1.0 \text{ m/s}$ で歩くとき、人の速度は $(-1.0, 0)$ である。このとき、風は北東から吹いているように感じるので、風の相対速度は $(c, c)$ (cは正の数) と表せる。よって、

$$(v_x, v_y) - (-1.0, 0) = (c, c)$$

$$v_x + 1.0 = c$$

$$v_y = c$$

人が西向きに $4.0 \text{ m/s}$ で走るとき、人の速度は $(-4.0, 0)$ である。このとき、風は北から吹いているように感じるので、風の相対速度は $(0, d)$ (dは正の数) と表せる。よって、

$$(v_x, v_y) - (-4.0, 0) = (0, d)$$

$$v_x + 4.0 = 0$$

$$v_y = d$$

$v_x = -4.0$ を $v_x + 1.0 = c$ に代入すると、

$$-4.0 + 1.0 = c$$

$$c = -3.0$$

しかし、問題文から $c$ は正の数である必要があるため、$v_y = -c$ とすると

$v_x + 1.0 = c$

$v_y = -c$

$v_x + 4.0 = 0$

$v_y = d$

$v_x = -4.0$ を $v_x + 1.0 = c$ に代入すると、

$-4.0 + 1.0 = c$

$c = -3.0$

また、$v_y = -c$ より

$v_y = 3.0$

風の速さ $|v|$ は、

$|v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-4.0)^2 + (3.0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.0$

3. 最終的な答え

風の速さは $5.0 \text{ m/s}$ である。