高さ19.6mの崖の上から、水平方向に小球を投げ出したところ、水平距離29.4m離れた海面に落下した。 (1) 小球が海面に達するまでにかかる時間を求める。 (2) 小球の初速度の大きさを求める。 (3) 海面に達する直前の小球の速さを求める。

1. 問題の内容

高さ19.6mの崖の上から、水平方向に小球を投げ出したところ、水平距離29.4m離れた海面に落下した。

(1) 小球が海面に達するまでにかかる時間を求める。

(2) 小球の初速度の大きさを求める。

(3) 海面に達する直前の小球の速さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 小球が海面に達するまでの時間

水平投射における鉛直方向の運動は自由落下である。

落下距離を $y$ [m], 重力加速度を $g$ [m/s$^2$], 時間を $t$ [s]とすると、自由落下の式は

$y = \frac{1}{2} g t^2$

である。

$y = 19.6$ m, $g = 9.8$ m/s$^2$を代入して $t$ を求めると、

$19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$t^2 = \frac{19.6 \times 2}{9.8} = 4$

$t = 2$ [s]

(2) 小球の初速度の大きさ

水平方向には等速直線運動をするので、水平距離を $x$ [m], 初速度を $v_0$ [m/s], 時間を $t$ [s]とすると、

$x = v_0 t$

である。

$x = 29.4$ m, $t = 2$ s を代入して $v_0$ を求めると、

$29.4 = v_0 \times 2$

$v_0 = \frac{29.4}{2} = 14.7$ [m/s]

(3) 海面に達する直前の小球の速さ

海面に達する直前の鉛直方向の速度を $v_y$ [m/s]とすると、

$v_y = gt$

である。

$g = 9.8$ m/s$^2$, $t = 2$ sを代入して $v_y$ を求めると、

$v_y = 9.8 \times 2 = 19.6$ [m/s]

海面に達する直前の小球の速さを $v$ [m/s]とすると、

$v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2}$

である。

$v_0 = 14.7$ m/s, $v_y = 19.6$ m/s を代入して $v$ を求めると、

$v = \sqrt{14.7^2 + 19.6^2} = \sqrt{216.09 + 384.16} = \sqrt{600.25} = 24.5$ [m/s]

3. 最終的な答え

(1) 2秒

(2) 14.7 m/s

(3) 24.5 m/s