高さ $19.6 \ m$ の崖の上から水平方向に小球を投げ出したところ、水平距離 $29.4 \ m$ 離れた海面に落下した。 (1) 小球が海面に達するまでにかかる時間は何秒か。 (2) 小球の初速度の大きさは何 $m/s$ か。 (3) 海面に達する直前の小球の速さは何 $m/s$ か。

1. 問題の内容

高さ $19.6 \ m$ の崖の上から水平方向に小球を投げ出したところ、水平距離 $29.4 \ m$ 離れた海面に落下した。

(1) 小球が海面に達するまでにかかる時間は何秒か。

(2) 小球の初速度の大きさは何 $m/s$ か。

(3) 海面に達する直前の小球の速さは何 $m/s$ か。

2. 解き方の手順

(1) 小球が海面に達するまでの時間

鉛直方向の運動は自由落下なので、落下距離 $y$ は

$y = \frac{1}{2}gt^2$

で表される。ここで、$g$ は重力加速度（$9.8 \ m/s^2$）である。

$y = 19.6 \ m$ より、

$19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$t^2 = \frac{2 \times 19.6}{9.8} = 4$

$t = 2 \ s$

(2) 小球の初速度の大きさ

水平方向の運動は等速直線運動なので、水平距離 $x$ は

$x = v_0t$

で表される。ここで、$v_0$ は初速度の大きさ、$t$ は落下時間である。

$x = 29.4 \ m$、$t = 2 \ s$ より、

$29.4 = v_0 \times 2$

$v_0 = \frac{29.4}{2} = 14.7 \ m/s$

(3) 海面に達する直前の小球の速さ

海面に達する直前の小球の速度は、水平方向の速度 $v_x$ と鉛直方向の速度 $v_y$ のベクトル和である。

水平方向の速度は初速度と等しいので、$v_x = v_0 = 14.7 \ m/s$ である。

鉛直方向の速度は、$v_y = gt = 9.8 \times 2 = 19.6 \ m/s$ である。

したがって、海面に達する直前の小球の速さ $v$ は、

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{14.7^2 + 19.6^2} = \sqrt{216.09 + 384.16} = \sqrt{600.25} = 24.5 \ m/s$

3. 最終的な答え

(1) 2 s

(2) 14.7 m/s

(3) 24.5 m/s