比重$s = 1.05$の海水中に氷山が浮かんでおり、海面下の氷の体積$V_i = 200 \ m^3$、氷の比重$s_i = 0.93$である。海面より上に露出している氷山の体積を求めよ。ただし、水の密度$\rho_w = 1000 \ kg/m^3$、重力加速度$g = 9.80 \ m/s^2$とする。

1. 問題の内容

比重$s = 1.05$の海水中に氷山が浮かんでおり、海面下の氷の体積$V_i = 200 \ m^3$、氷の比重$s_i = 0.93$である。海面より上に露出している氷山の体積を求めよ。ただし、水の密度$\rho_w = 1000 \ kg/m^3$、重力加速度$g = 9.80 \ m/s^2$とする。

2. 解き方の手順

氷山全体が浮いているので、浮力と重力が釣り合っている。

氷全体の体積を$V$、海面から上に出ている氷の体積を$V_a$とすると、$V = V_i + V_a$が成り立つ。

氷の密度$\rho_i$は、氷の比重$s_i$を用いて$\rho_i = s_i \rho_w$と表せる。したがって、氷の密度は$\rho_i = 0.93 \times 1000 \ kg/m^3 = 930 \ kg/m^3$である。

浮力は、海面下の氷の体積$V_i$に相当する海水の重さに等しい。

したがって、浮力$F_b$は、

$F_b = \rho_w V_i g$

一方、氷山の重力$F_g$は、

$F_g = \rho_i V g$

浮力と重力が釣り合うので、$F_b = F_g$となり、

$\rho_w V_i g = \rho_i V g$

$\rho_w V_i = \rho_i V$

$V = \frac{\rho_w V_i}{\rho_i} = \frac{1000 \ kg/m^3}{930 \ kg/m^3} \times 200 \ m^3 = \frac{1000}{930} \times 200 \ m^3 \approx 215.05 \ m^3$

海面より上に露出している氷山の体積$V_a$は、$V_a = V - V_i$より、

$V_a = 215.05 \ m^3 - 200 \ m^3 = 15.05 \ m^3$

3. 最終的な答え

海面より上に露出している部分の氷山の体積は、15.05 m^3。