## 問題の概要

## 問題の概要

高さ $a = 10 \text{ m}$、幅 $b = 8 \text{ m}$ の長方形の板が、水槽の平面壁に設置されている。板の上縁は水面から深さ $h = 3.5 \text{ m}$ の位置にある。この板に作用する水圧による全圧力 $P$ と、その圧力中心の位置を求める。以下の4つの問いに答えます。

1. 長方形部分の重心Gにおける水圧 $p_G$ の値を求める。

2. 水圧によって長方形部分全域に作用する力の総和、つまり全圧力 $P$ の値を求める。

3. 長方形部分の重心Gを通りx軸と平行な軸に対する慣性モーメント $I_G$ と、x軸に対する慣性モーメント $I_x$ を求める。

4. 水圧による全圧力 $P$ が作用する長方形部分の圧力中心Cの位置について、水面からの深さ $z_c$ の値を求める。

## 解き方の手順

**(1) 重心Gにおける水圧 $p_G$ の計算**

長方形の上縁の深さが $h$ なので、下縁の深さは $h + a$ です。重心Gの深さは、上縁と下縁の中間なので、

$z_G = h + \frac{a}{2} = 3.5 + \frac{10}{2} = 8.5 \text{ m}$

水圧は、 $p = \rho g z$ で計算できます。

$p_G = \rho g z_G = 1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 8.5 \text{ m} = 83300 \text{ Pa}$

**(2) 全圧力 $P$ の計算**

全圧力 $P$ は、水圧の重心Gにおける値に、面積 $A$ を掛け合わせることで計算できます。

$A = a \times b = 10 \text{ m} \times 8 \text{ m} = 80 \text{ m}^2$

$P = p_G A = 83300 \text{ Pa} \times 80 \text{ m}^2 = 6664000 \text{ N}$

**(3) 慣性モーメント $I_G$ および $I_x$ の計算**

重心Gを通る軸に関する慣性モーメントは、長方形の場合、

$I_G = \frac{ba^3}{12} = \frac{8 \times 10^3}{12} = \frac{8000}{12} = \frac{2000}{3} \approx 666.67 \text{ m}^4$

x軸に関する慣性モーメントは、平行軸の定理を用いて計算できます。

$I_x = I_G + A z_G^2 = \frac{2000}{3} + 80 \times 8.5^2 = \frac{2000}{3} + 80 \times 72.25 = \frac{2000}{3} + 5780 = \frac{2000 + 17340}{3} = \frac{19340}{3} \approx 6446.67 \text{ m}^4$

**(4) 圧力中心の深さ $z_c$ の計算**

圧力中心の深さは、以下の式で求められます。

$z_c = z_G + \frac{I_G}{A z_G} = 8.5 + \frac{2000/3}{80 \times 8.5} = 8.5 + \frac{2000}{3 \times 80 \times 8.5} = 8.5 + \frac{2000}{2040} = 8.5 + \frac{50}{51} \approx 8.5 + 0.98 = 9.48 \text{ m}$

## 最終的な答え

(1) $p_G = 83300 \text{ Pa}$

(2) $P = 6664000 \text{ N}$

(3) $I_G = 666.67 \text{ m}^4$

$I_x = 6446.67 \text{ m}^4$

(4) $z_c = 9.48 \text{ m}$