光があるガラス板を1枚通過するごとに光の強さが1割失われる。光の強さが初めの$\frac{1}{9}$以下になるのは、ガラス板を何枚以上通過したときか。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$とする。

1. 問題の内容

光があるガラス板を1枚通過するごとに光の強さが1割失われる。光の強さが初めの$\frac{1}{9}$以下になるのは、ガラス板を何枚以上通過したときか。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$とする。

2. 解き方の手順

初期の光の強さを$I_0$とする。ガラス板を$n$枚通過した後の光の強さを$I_n$とする。ガラス板を1枚通過するごとに光の強さは1割（10%）失われるので、通過後の光の強さは通過前の光の強さの90%になる。したがって、$I_n = I_0(0.9)^n$と表せる。

光の強さが初めの$\frac{1}{9}$以下になるのは、$I_n \le \frac{1}{9}I_0$となる時なので、

$I_0(0.9)^n \le \frac{1}{9}I_0$

$(0.9)^n \le \frac{1}{9}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}(0.9)^n \le \log_{10}\frac{1}{9}$

$n\log_{10}0.9 \le \log_{10}1 - \log_{10}9$

$n\log_{10}\frac{9}{10} \le 0 - \log_{10}3^2$

$n(\log_{10}9 - \log_{10}10) \le -2\log_{10}3$

$n(2\log_{10}3 - 1) \le -2\log_{10}3$

$\log_{10}3 = 0.4771$を代入すると、

$n(2(0.4771) - 1) \le -2(0.4771)$

$n(0.9542 - 1) \le -0.9542$

$n(-0.0458) \le -0.9542$

両辺を-0.0458で割ると（負の数で割るので不等号の向きが変わる）、

$n \ge \frac{-0.9542}{-0.0458}$

$n \ge 20.834...$

$n$は整数なので、$n \ge 21$となる。

3. 最終的な答え

21