密度 $\rho_{oil} = 800 \text{ kg/m}^3$ の油が貯蔵されたタンクがある。タンク上部は空気層があり、その圧力は水銀マノメータで測定できる。マノメータの液柱の高さの差は $h = 250 \text{ mm}$。タンク内の油面から深さ $H = 5000 \text{ mm}$ の点Aにおける油の圧力（ゲージ圧と絶対圧）を求める問題。ただし、水銀の密度 $\rho_{Hg} = 13570 \text{ kg/m}^3$, 大気圧 $p_a = 1.02 \times 10^5 \text{ Pa}$, 重力加速度 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$。

1. 問題の内容

密度 $\rho_{oil} = 800 \text{ kg/m}^3$ の油が貯蔵されたタンクがある。タンク上部は空気層があり、その圧力は水銀マノメータで測定できる。マノメータの液柱の高さの差は $h = 250 \text{ mm}$。タンク内の油面から深さ $H = 5000 \text{ mm}$ の点Aにおける油の圧力（ゲージ圧と絶対圧）を求める問題。ただし、水銀の密度 $\rho_{Hg} = 13570 \text{ kg/m}^3$, 大気圧 $p_a = 1.02 \times 10^5 \text{ Pa}$, 重力加速度 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$。

2. 解き方の手順

まず、マノメータを使ってタンク上部の空気の圧力を求める。

マノメータの圧力差は $\rho_{Hg} g h$ で計算できる。

$h = 250 \text{ mm} = 0.25 \text{ m}$ なので、

$p_{air} = p_a - \rho_{Hg} g h$

$p_{air} = 1.02 \times 10^5 - 13570 \times 9.8 \times 0.25$

$p_{air} = 102000 - 33246.5$

$p_{air} = 68753.5 \text{ Pa}$

次に、点Aのゲージ圧力を計算する。

点Aのゲージ圧力 $p_{gauge}$ は、油の深さ $H$ による圧力である。

$H = 5000 \text{ mm} = 5 \text{ m}$ なので、

$p_{gauge} = \rho_{oil} g H$

$p_{gauge} = 800 \times 9.8 \times 5$

$p_{gauge} = 39200 \text{ Pa}$

最後に、点Aの絶対圧力を計算する。

絶対圧力 $p_{abs}$ は、ゲージ圧力にタンク上部の空気の圧力を足したものである。

$p_{abs} = p_{air} + p_{gauge}$

$p_{abs} = 68753.5 + 39200$

$p_{abs} = 107953.5 \text{ Pa}$

3. 最終的な答え

絶対圧: 107953.5 Pa

ゲージ圧: 39200 Pa