地面から水平となす角45°の向きに小球を投げ上げたところ、2.0秒後に最高点に達した。以下の問いに答えよ。ただし、$\sqrt{2}=1.41$とする。 (1) 小球の初速度の大きさは何m/sか。 (2) 小球が地面に達するまでにかかる時間は何秒か。 (3) 小球が地面に達するまでに進む水平距離は何mか。

1. 問題の内容

地面から水平となす角45°の向きに小球を投げ上げたところ、2.0秒後に最高点に達した。以下の問いに答えよ。ただし、$\sqrt{2}=1.41$とする。

(1) 小球の初速度の大きさは何m/sか。

(2) 小球が地面に達するまでにかかる時間は何秒か。

(3) 小球が地面に達するまでに進む水平距離は何mか。

2. 解き方の手順

(1) 初速度の大きさを求める。

最高点に達するまでの時間が2.0秒であることから、鉛直方向の初速度成分$v_y$は、$v_y = gt$より、$v_y = 9.8 \times 2.0 = 19.6$ m/sとなる。

初速度$v_0$は、$v_y = v_0 \sin{45^\circ}$の関係より、$v_0 = \frac{v_y}{\sin{45^\circ}}$で求められる。$\sin{45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$であるから、$v_0 = \sqrt{2} v_y = 1.41 \times 19.6 = 27.636 \approx 28$ m/sとなる。

(2) 地面に達するまでにかかる時間を求める。

投げ上げてから最高点に達するまでの時間と、最高点から地面に達するまでの時間は等しい。

したがって、地面に達するまでにかかる時間は、2.0秒 × 2 = 4.0秒となる。

(3) 水平距離を求める。

水平方向の速度成分$v_x$は、$v_x = v_0 \cos{45^\circ}$で求められる。$v_0=27.636$ m/sであるから、$v_x = 27.636 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 27.636 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 27.636 \times \frac{1.41}{2} \approx 19.52$ m/s。

水平方向には等速運動をするので、水平距離$x$は、$x = v_x t$で求められる。$t = 4.0$秒であるから、$x = 19.52 \times 4.0 = 78.08 \approx 78$ m。

3. 最終的な答え

(1) 28 m/s

(2) 4.0 秒

(3) 78 m