次の4つの関数のn階導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。 (1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ (2) $y = \sqrt{1+x}$ (3) $y = x^2 \sin x$ (4) $y = (\frac{x}{e^x})^3$

1. 問題の内容

次の4つの関数のn階導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

(1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$

(2) $y = \sqrt{1+x}$

(3) $y = x^2 \sin x$

(4) $y = (\frac{x}{e^x})^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ の場合

まず、部分分数分解する。

$y = \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$\frac{d^n}{dx^n} (\frac{1}{x-a}) = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$ であることを利用する。

$y^{(n)} = \frac{1}{2} (\frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

(2) $y = \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ の場合

$y' = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$y'' = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$y''' = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(1+x)^{-\frac{5}{2}}$

$y^{(n)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1) (\frac{1}{2}-2) \dots (\frac{1}{2} - (n-1)) (1+x)^{\frac{1}{2}-n} = \frac{(-1)^{n-1} (2n-3)!!}{2^n} (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

(3) $y = x^2 \sin x$ の場合

ライプニッツの公式を使う。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

$u=x^2$, $v=\sin x$

$u'=2x, u''=2, u'''=0$

$v^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

$y^{(n)} = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n (2x) \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} (2) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2}) = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(4) $y = (\frac{x}{e^x})^3 = (xe^{-x})^3 = x^3 e^{-3x}$ の場合

ライプニッツの公式を使う。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

$u=x^3$, $v=e^{-3x}$

$u'=3x^2, u''=6x, u'''=6, u''''=0$

$v^{(n)} = (-3)^n e^{-3x}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^3 \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} = x^3 (-3)^n e^{-3x} + n(3x^2) (-3)^{n-1} e^{-3x} + \frac{n(n-1)}{2} (6x) (-3)^{n-2} e^{-3x} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} (6) (-3)^{n-3} e^{-3x} = e^{-3x} ((-3)^n x^3 + n(3x^2) (-3)^{n-1} + n(n-1) (3x) (-3)^{n-2} + n(n-1)(n-2) (-3)^{n-3}) = e^{-3x} (-3)^{n-3} (-27x^3 + 9nx^2 - 3n(n-1)x + n(n-1)(n-2))$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

(2) $y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1} (2n-3)!!}{2^n} (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

(3) $y^{(n)} = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(4) $y^{(n)} = e^{-3x} (-3)^{n-3} (-27x^3 + 9nx^2 - 3n(n-1)x + n(n-1)(n-2))$