曲線 $y = \sqrt{x} - \frac{1}{3}x\sqrt{x}$ の区間 $0 \le x \le 1$ における長さを求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x} - \frac{1}{3}x\sqrt{x}$ の区間 $0 \le x \le 1$ における長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$y = \sqrt{x} - \frac{1}{3}x\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$

次に、$1 + (y')^2$ を計算します。

$1 + (y')^2 = 1 + (\frac{1-x}{2\sqrt{x}})^2 = 1 + \frac{(1-x)^2}{4x} = 1 + \frac{1-2x+x^2}{4x} = \frac{4x+1-2x+x^2}{4x} = \frac{x^2+2x+1}{4x} = \frac{(x+1)^2}{4x}$

したがって、$\sqrt{1+(y')^2} = \sqrt{\frac{(x+1)^2}{4x}} = \frac{|x+1|}{2\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2\sqrt{x}}$ $(0 \le x \le 1$より$x+1>0$) であるから

曲線の長さ $L$ は次の積分で求められます。

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (y')^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{x+1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} dx$

$L = \frac{1}{2} [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}}]_0^1 = \frac{1}{2} [\frac{2}{3} + 2 - (0 + 0)] = \frac{1}{2} [\frac{2}{3} + \frac{6}{3}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$

$1+(y')^2 = \frac{(x+1)^2}{4x}$

$\sqrt{1+(y')^2} = \frac{x+1}{2\sqrt{x}}$

$L = \int_{0}^{1} \frac{x+1}{2\sqrt{x}} dx$

$L = \frac{4}{3}$