与えられた定積分 $\int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx$ の値を計算しなさい。ただし、$r$ は正の定数とする。また、与えられた微分方程式 $(1-x)\frac{dy}{dx}=y-1$, $y(2)=2$ を解きなさい。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx$ の値を計算しなさい。ただし、$r$ は正の定数とする。また、与えられた微分方程式 $(1-x)\frac{dy}{dx}=y-1$, $y(2)=2$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

(3) 定積分の計算

積分 $\int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx$ を計算する。

$x = r\sin\theta$ と置換する。すると、$dx = r\cos\theta d\theta$ となる。

積分範囲は、

$x = 0$ のとき $r\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$

$x = r$ のとき $r\sin\theta = r$ より $\sin\theta = 1$ なので $\theta = \frac{\pi}{2}$

したがって、積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2 - r^2\sin^2\theta} \cdot r\cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r\sqrt{1 - \sin^2\theta} \cdot r\cos\theta d\theta$

$= r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$ より、

$= r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos2\theta}{2} d\theta = \frac{r^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos2\theta) d\theta$

$= \frac{r^2}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{r^2}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\pi - (0 + \frac{1}{2}\sin0) \right] = \frac{r^2}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right]$

$= \frac{\pi r^2}{4}$

(4) 微分方程式の計算

微分方程式 $(1-x)\frac{dy}{dx} = y-1$ を解く。

$\frac{dy}{y-1} = \frac{dx}{1-x}$ と変数分離できる。

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y-1} = \int \frac{dx}{1-x}$

$\ln|y-1| = -\ln|1-x| + C$

$\ln|y-1| + \ln|1-x| = C$

$\ln|(y-1)(1-x)| = C$

$(y-1)(1-x) = e^C = A$ (Aは定数)

$y-1 = \frac{A}{1-x}$

$y = 1 + \frac{A}{1-x}$

初期条件 $y(2) = 2$ を代入すると、

$2 = 1 + \frac{A}{1-2}$

$1 = \frac{A}{-1}$

$A = -1$

よって、$y = 1 + \frac{-1}{1-x} = 1 - \frac{1}{1-x} = \frac{1-x-1}{1-x} = \frac{-x}{1-x} = \frac{x}{x-1}$

3. 最終的な答え

(3) の答え: $\frac{\pi r^2}{4}$

(4) の答え: $y = \frac{x}{x-1}$