点Pの座標 $(x, y)$ が時刻 $t$ の関数として与えられており、以下のようになっています。 $3x = t^3 + 6t^2$ $3y = 2t^3 - 3t^2$ (1) 点Pが座標(27, 9)を通るときの速度を求めます。 (2) 点Pが時刻0から$a (a>0)$までに通過する道のり$l$を求めます。

1. 問題の内容

点Pの座標 $(x, y)$ が時刻 $t$ の関数として与えられており、以下のようになっています。

$3x = t^3 + 6t^2$

$3y = 2t^3 - 3t^2$

(1) 点Pが座標(27, 9)を通るときの速度を求めます。

(2) 点Pが時刻0から$a (a>0)$までに通過する道のり$l$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ の関数として表します。

$x = \frac{1}{3}t^3 + 2t^2$

$y = \frac{2}{3}t^3 - t^2$

次に、速度の成分 $v_x = \frac{dx}{dt}$ と $v_y = \frac{dy}{dt}$ を求めます。

$\frac{dx}{dt} = t^2 + 4t$

$\frac{dy}{dt} = 2t^2 - 2t$

点Pが座標(27, 9)を通る時の$t$を求めます。$x=27$と$y=9$を代入します。

$27 = \frac{1}{3}t^3 + 2t^2$

$81 = t^3 + 6t^2$

$9 = \frac{2}{3}t^3 - t^2$

$27 = 2t^3 - 3t^2$

$81 = t^3 + 6t^2$を満たす$t$と$27 = 2t^3 - 3t^2$を満たす$t$を求める必要があります。ここでは、既に画像の中で$t=3$が与えられているため、$t=3$を使います。

$t=3$の時、

$\frac{dx}{dt} = (3)^2 + 4(3) = 9 + 12 = 21$

$\frac{dy}{dt} = 2(3)^2 - 2(3) = 18 - 6 = 12$

したがって、速度は (21, 12) となります。

(2)

道のり $l$ は、速度の絶対値の積分で与えられます。

$l = \int_{0}^{a} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$\frac{dx}{dt} = t^2 + 4t$

$\frac{dy}{dt} = 2t^2 - 2t$

$(\frac{dx}{dt})^2 = (t^2 + 4t)^2 = t^4 + 8t^3 + 16t^2$

$(\frac{dy}{dt})^2 = (2t^2 - 2t)^2 = 4t^4 - 8t^3 + 4t^2$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = t^4 + 8t^3 + 16t^2 + 4t^4 - 8t^3 + 4t^2 = 5t^4 + 20t^2 = 5t^2(t^2 + 4)$

$l = \int_{0}^{a} \sqrt{5t^2(t^2 + 4)} dt = \int_{0}^{a} \sqrt{5} t \sqrt{t^2 + 4} dt$

$u = t^2 + 4$ とおくと、$du = 2t dt$。$t dt = \frac{1}{2} du$

$t=0$のとき、$u=4$。$t=a$のとき、$u=a^2+4$

$l = \int_{4}^{a^2+4} \sqrt{5} \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{\sqrt{5}}{2} \int_{4}^{a^2+4} u^{1/2} du = \frac{\sqrt{5}}{2} [\frac{2}{3}u^{3/2}]_{4}^{a^2+4}$

$l = \frac{\sqrt{5}}{3} [(a^2+4)^{3/2} - 4^{3/2}] = \frac{\sqrt{5}}{3} [(a^2+4)^{3/2} - 8]$

3. 最終的な答え

(1) 速度は (21, 12)

(2) 道のりは $l = \frac{\sqrt{5}}{3} [(a^2+4)^{3/2} - 8]$