与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の6つの関数について、それぞれの導関数を求めます。 (1) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$ (2) $y = \frac{1}{\tan x}$ (3) $y = e^x \sin x$ (4) $y = xe^{-2x}$ (5) $y = \log(x^2 + 4)$ (6) $y = e^x \log x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の6つの関数について、それぞれの導関数を求めます。

(1) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$

(2) $y = \frac{1}{\tan x}$

(3) $y = e^x \sin x$

(4) $y = xe^{-2x}$

(5) $y = \log(x^2 + 4)$

(6) $y = e^x \log x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$の場合：

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \frac{du}{dx}$

ここで、$u = 2x - \frac{\pi}{3}$なので、$\frac{du}{dx} = 2$となります。

したがって、$y' = -\sin(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot 2 = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$

(2) $y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$の場合：

$\frac{d}{dx} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

したがって、$y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(3) $y = e^x \sin x$の場合：

積の微分公式を使います。

$(uv)' = u'v + uv'$

ここで、$u = e^x$、$v = \sin x$なので、$u' = e^x$、$v' = \cos x$となります。

したがって、$y' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$

(4) $y = xe^{-2x}$の場合：

積の微分公式を使います。

$(uv)' = u'v + uv'$

ここで、$u = x$、$v = e^{-2x}$なので、$u' = 1$、$v' = -2e^{-2x}$となります。

したがって、$y' = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)$

(5) $y = \log(x^2 + 4)$の場合：

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$

ここで、$u = x^2 + 4$なので、$\frac{du}{dx} = 2x$となります。

したがって、$y' = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4}$

(6) $y = e^x \log x$の場合：

積の微分公式を使います。

$(uv)' = u'v + uv'$

ここで、$u = e^x$、$v = \log x$なので、$u' = e^x$、$v' = \frac{1}{x}$となります。

したがって、$y' = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x (\log x + \frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$

(2) $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(3) $y' = e^x (\sin x + \cos x)$

(4) $y' = e^{-2x}(1 - 2x)$

(5) $y' = \frac{2x}{x^2 + 4}$

(6) $y' = e^x (\log x + \frac{1}{x})$