与えられた曲線上の点Aにおける法線の方程式を求める問題です。 (1) $y=e^{-x}$, $A(-1, e)$ (2) $y=\tan x$, $A(\frac{\pi}{4}, 1)$

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点Aにおける法線の方程式を求める問題です。

(1) $y=e^{-x}$, $A(-1, e)$

(2) $y=\tan x$, $A(\frac{\pi}{4}, 1)$

2. 解き方の手順

(1) $y=e^{-x}$, $A(-1, e)$の場合:

まず、導関数を求めます。

$y' = -e^{-x}$

点Aにおける接線の傾きを求めます。

$y'(-1) = -e^{-(-1)} = -e$

法線の傾きは、接線の傾きの逆数に-1をかけたものです。

法線の傾き $m = -\frac{1}{-e} = \frac{1}{e}$

点Aを通る法線の方程式は、次のようになります。

$y - e = \frac{1}{e}(x - (-1))$

$y - e = \frac{1}{e}(x + 1)$

$y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + e$

(2) $y=\tan x$, $A(\frac{\pi}{4}, 1)$の場合:

まず、導関数を求めます。

$y' = \frac{1}{\cos^2 x}$

点Aにおける接線の傾きを求めます。

$y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

法線の傾きは、接線の傾きの逆数に-1をかけたものです。

法線の傾き $m = -\frac{1}{2}$

点Aを通る法線の方程式は、次のようになります。

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + e$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$