与えられた関数の微分を計算する問題です。具体的には、以下の関数を微分します。 (2) $y = \frac{1}{\tan x}$ (3) $y = e^x \sin x$ (4) $y = xe^{-2x}$ (5) $y = \log(x^2 + 4)$ (6) $y = e^x \log x$

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を計算する問題です。具体的には、以下の関数を微分します。

(2) $y = \frac{1}{\tan x}$

(3) $y = e^x \sin x$

(4) $y = xe^{-2x}$

(5) $y = \log(x^2 + 4)$

(6) $y = e^x \log x$

2. 解き方の手順

(2) $y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$ なので、$y' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

(3) $y = e^x \sin x$ なので、積の微分法より、$y' = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$

(4) $y = xe^{-2x}$ なので、積の微分法より、$y' = (x)' e^{-2x} + x (e^{-2x})' = e^{-2x} + x (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)$

(5) $y = \log(x^2 + 4)$ なので、合成関数の微分法より、$y' = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot (x^2 + 4)' = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4}$

(6) $y = e^x \log x$ なので、積の微分法より、$y' = (e^x)' \log x + e^x (\log x)' = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x (\log x + \frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

(2) $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(3) $y' = e^x(\sin x + \cos x)$

(4) $y' = e^{-2x}(1 - 2x)$

(5) $y' = \frac{2x}{x^2 + 4}$

(6) $y' = e^x (\log x + \frac{1}{x})$