不定積分 $\int \frac{3x^2-x+2}{x^2} dx$ を求めます。

## (1)の問題

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{3x^2-x+2}{x^2} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を単純化します。

$\frac{3x^2-x+2}{x^2} = 3 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}$

次に、各項を積分します。

$\int \frac{3x^2-x+2}{x^2} dx = \int (3 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}) dx$

$= \int 3 dx - \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{2}{x^2} dx$

$= 3x - \ln|x| + 2 \int x^{-2} dx$

$= 3x - \ln|x| + 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C$

$= 3x - \ln|x| - \frac{2}{x} + C$

3. 最終的な答え

$3x - \ln|x| - \frac{2}{x} + C$

## (2)の問題

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{(x+1) - x} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x}$

したがって、

$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}} = \int (\sqrt{x+1} + \sqrt{x}) dx = \int ( (x+1)^{1/2} + x^{1/2} ) dx$

$= \int (x+1)^{1/2} dx + \int x^{1/2} dx$

$= \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$

$= \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + \frac{2}{3} x^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

## (3)の問題

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sin^2 \frac{x}{2} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

半角の公式を利用します。

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

したがって、

$\int \sin^2 \frac{x}{2} dx = \int \frac{1 - \cos x}{2} dx$

$= \frac{1}{2} \int (1 - \cos x) dx$

$= \frac{1}{2} ( \int 1 dx - \int \cos x dx )$

$= \frac{1}{2} (x - \sin x) + C$

$= \frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2} + C$

## (4)の問題

1. 問題の内容

不定積分 $\int (e^{x+2} + 2^{x+1}) dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\int (e^{x+2} + 2^{x+1}) dx = \int e^{x+2} dx + \int 2^{x+1} dx$

$\int e^{x+2} dx = e^2 \int e^x dx = e^2 e^x + C_1 = e^{x+2} + C_1$

$\int 2^{x+1} dx = 2 \int 2^x dx = 2 \cdot \frac{2^x}{\ln 2} + C_2 = \frac{2^{x+1}}{\ln 2} + C_2$

したがって、

$\int (e^{x+2} + 2^{x+1}) dx = e^{x+2} + \frac{2^{x+1}}{\ln 2} + C$

3. 最終的な答え

$e^{x+2} + \frac{2^{x+1}}{\ln 2} + C$