与えられた関数を微分する問題です。今回は、(2) $y = \frac{1}{\tan x}$ を微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。今回は、(2) $y = \frac{1}{\tan x}$ を微分します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$ と書き換えます。

次に、$y = \cot x$ を微分します。$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ なので、商の微分法を使うか、$\cot x$ の微分公式を使うことができます。

$\cot x$ の微分公式を使う場合、$\frac{d}{dx} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$ を用います。

したがって、

$y' = \frac{d}{dx} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x}$ となります。

もしくは、$y = \frac{1}{\tan x} = (\tan x)^{-1}$として合成関数の微分公式を用います。

$y' = -1 (\tan x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) = -\frac{1}{\tan^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$

となります。

$1+\cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ の関係から、$-\frac{1}{\sin^2 x} = -(1+\cot^2 x)$とも書けます。

$\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$ なので、$-\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$