$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos^2\theta - \cos\theta$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos^2\theta - \cos\theta$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos\theta = t$ とおく。$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-1 \le t \le 1$ である。

すると、$y = t^2 - t$ となる。これを平方完成すると、

$$$$

y = t^2 - t = \left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}

$$$$

である。よって、このグラフは頂点が $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ の下に凸な放物線となる。

$-1 \le t \le 1$ の範囲で考えるので、

$t = -1$ のとき、最大値 $y = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$ をとる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、最小値 $y = -\frac{1}{4}$ をとる。

(1) 最大値について

$t = \cos\theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$ である。

したがって、$\theta = \pi$ のとき、最大値 $2$ をとる。

(2) 最小値について

$t = \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{1}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値：$2$（$\theta = \pi$ のとき）

最小値：$-\frac{1}{4}$（$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき）