問題は、与えられた二重積分を計算し、その後、積分順序を交換して再度計算し、結果が一致することを確認することです。今回は、問題 (3) $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{x}} 2xy \, dy \, dx$ を解きます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた二重積分を計算し、その後、積分順序を交換して再度計算し、結果が一致することを確認することです。今回は、問題 (3) $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{x}} 2xy \, dy \, dx$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、内側の積分（$y$に関する積分）を計算します。

$\int_0^{\sqrt{x}} 2xy \, dy = x \int_0^{\sqrt{x}} 2y \, dy = x[y^2]_0^{\sqrt{x}} = x((\sqrt{x})^2 - 0^2) = x^2$

次に、外側の積分（$x$に関する積分）を計算します。

$\int_0^1 x^2 \, dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}$

したがって、元の二重積分の値は $\frac{1}{3}$ です。

次に、積分順序を交換します。元の積分範囲は、$0 \le x \le 1$ と $0 \le y \le \sqrt{x}$ です。これは、$x = y^2$ と書けるので、$x$ の範囲は $y^2 \le x \le 1$ となります。また、$y$ の範囲は $0 \le y \le 1$ となります。

したがって、積分順序を交換した二重積分は次のようになります。

$\int_0^1 \int_{y^2}^1 2xy \, dx \, dy$

まず、内側の積分（$x$に関する積分）を計算します。

$\int_{y^2}^1 2xy \, dx = y \int_{y^2}^1 2x \, dx = y[x^2]_{y^2}^1 = y(1^2 - (y^2)^2) = y(1 - y^4) = y - y^5$

次に、外側の積分（$y$に関する積分）を計算します。

$\int_0^1 (y - y^5) \, dy = [\frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{6}y^6]_0^1 = (\frac{1}{2}(1^2) - \frac{1}{6}(1^6)) - (\frac{1}{2}(0^2) - \frac{1}{6}(0^6)) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

積分順序を交換した後の二重積分の値も $\frac{1}{3}$ であることが確認できました。

3. 最終的な答え

$\int_0^1 \int_0^{\sqrt{x}} 2xy \, dy \, dx = \frac{1}{3}$

積分順序交換後: $\int_0^1 \int_{y^2}^1 2xy \, dx \, dy = \frac{1}{3}$