$\lim_{x \to \infty} \frac{5^x + 3}{2^x + 5^x}$ を計算します。

## (k) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{5^x + 3}{2^x + 5^x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

分子と分母を $5^x$ で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{5^x + 3}{2^x + 5^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{5^x}}{\frac{2^x}{5^x} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{5^x}}{(\frac{2}{5})^x + 1}$$

$x \to \infty$ のとき、 $\frac{3}{5^x} \to 0$ かつ $(\frac{2}{5})^x \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{5^x}}{(\frac{2}{5})^x + 1} = \frac{1+0}{0+1} = 1$$

3. 最終的な答え

1

## (l) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x - 5^x}{2^x + 5^x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

分子と分母を $5^x$ で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x - 5^x}{2^x + 5^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{2}{5})^x - 1}{(\frac{2}{5})^x + 1}$$

$x \to \infty$ のとき、 $(\frac{2}{5})^x \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{2}{5})^x - 1}{(\frac{2}{5})^x + 1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$$

3. 最終的な答え

-1

## (m) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x} - \sqrt{x+1})$ を計算します。

2. 解き方の手順

有理化します。

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - (x+1)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}$$

$x \to \infty$ のとき、 $\sqrt{x} + \sqrt{x+1} \to \infty$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = 0$$

3. 最終的な答え

0

## (n) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \{\log_3(9x^2) - \log_3(x^2 + 3x + 4)\}$ を計算します。

2. 解き方の手順

対数の性質を使います。

$$\lim_{x \to \infty} \{\log_3(9x^2) - \log_3(x^2 + 3x + 4)\} = \lim_{x \to \infty} \log_3 \frac{9x^2}{x^2 + 3x + 4} = \lim_{x \to \infty} \log_3 \frac{9}{1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}}$$

$x \to \infty$ のとき、 $\frac{3}{x} \to 0$ かつ $\frac{4}{x^2} \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} \log_3 \frac{9}{1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}} = \log_3 \frac{9}{1+0+0} = \log_3 9 = 2$$

3. 最終的な答え

2

## (o) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} x^x$ を計算します。

2. 解き方の手順

$y = x^x$ とおくと、 $\log y = x \log x$ となります。

$\lim_{x \to +0} x \log x$ を計算します。これは $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、$\frac{\log x}{1/x}$ と変形します。

$$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{1/x}$$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$$

したがって、 $\lim_{x \to +0} \log y = 0$ なので、 $\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$ です。

3. 最終的な答え

1

## (a) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax}{x-2}$ が存在するように $a$ の値を定め、極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$x=2$ を代入すると、分母が0になるので、分子も0になる必要があります。

$2^2 + 2a = 0$ より $4 + 2a = 0$, よって $a = -2$。

このとき、

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x = 2$$

3. 最終的な答え

$a = -2$, 極限値 = 2

## (b) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax - 3}{x^2 - x - 6}$ が存在するように $a$ の値を定め、極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ なので、$x=3$ を代入すると分母が0になります。よって分子も0になる必要があります。

$3^2 + 3a - 3 = 0$ より $9 + 3a - 3 = 0$, よって $3a = -6$, $a = -2$。

このとき、

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+1}{x+2} = \frac{3+1}{3+2} = \frac{4}{5}$$

3. 最終的な答え

$a = -2$, 極限値 = $\frac{4}{5}$

## (c) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 3} \frac{2\sqrt{x+1} - a}{x-3}$ が存在するように $a$ の値を定め、極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$x=3$ を代入すると、分母が0になるので、分子も0になる必要があります。

$2\sqrt{3+1} - a = 0$ より $2\sqrt{4} - a = 0$, $4 - a = 0$, よって $a = 4$。

このとき、

$$\lim_{x \to 3} \frac{2\sqrt{x+1} - 4}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{2(\sqrt{x+1} - 2)}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{2(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{2(x+1 - 4)}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{2(x-3)}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{2}{\sqrt{x+1} + 2} = \frac{2}{\sqrt{3+1} + 2} = \frac{2}{2+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$a = 4$, 極限値 = $\frac{1}{2}$