与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y=9x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 2x + 9$ (2) $y=(x^3 + 3x)(x^2 - 2)$ (3) $y=\frac{1}{3x - 2}$ (4) $y=\frac{x}{x - 1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y=9x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 2x + 9$

(2) $y=(x^3 + 3x)(x^2 - 2)$

(3) $y=\frac{1}{3x - 2}$

(4) $y=\frac{x}{x - 1}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を微分します。

$y' = 9(4x^3) - 2(3x^2) + 5(2x) - 2(1) + 0$

(2) 積の微分法を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^3 + 3x$, $v = x^2 - 2$

$u' = 3x^2 + 3$, $v' = 2x$

$y' = (3x^2 + 3)(x^2 - 2) + (x^3 + 3x)(2x)$

$y' = 3x^4 - 6x^2 + 3x^2 - 6 + 2x^4 + 6x^2$

(3) 合成関数の微分、または商の微分法を使用します。

$y = (3x - 2)^{-1}$

$y' = -(3x - 2)^{-2} \cdot 3 = \frac{-3}{(3x - 2)^2}$

(4) 商の微分法を使用します。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x$, $v = x - 1$

$u' = 1$, $v' = 1$

$y' = \frac{1(x - 1) - x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x - 1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 36x^3 - 6x^2 + 10x - 2$

(2) $y' = 5x^4 + 3x^2 - 6$

(3) $y' = \frac{-3}{(3x - 2)^2}$

(4) $y' = \frac{-1}{(x - 1)^2}$