与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$ (2) $y = \frac{1}{\tan x}$ (3) $y = e^x \sin x$ (4) $y = xe^{-2x}$ (5) $y = \log(x^2 + 4)$ (6) $y = e^x \log x$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$

(2) $y = \frac{1}{\tan x}$

(3) $y = e^x \sin x$

(4) $y = xe^{-2x}$

(5) $y = \log(x^2 + 4)$

(6) $y = e^x \log x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$

合成関数の微分公式を用います。$\cos(u)$ の微分は $-\sin(u)$ であり、$u = 2x - \frac{\pi}{3}$ の微分は $2$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\sin(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot 2 = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$

(2) $y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$

$\cot x$ の微分は $-\csc^2 x$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(3) $y = e^x \sin x$

積の微分公式を用います。 $(uv)' = u'v + uv'$。

$u = e^x$、$v = \sin x$ とすると、$u' = e^x$、$v' = \cos x$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$

(4) $y = xe^{-2x}$

積の微分公式を用います。 $(uv)' = u'v + uv'$。

$u = x$、$v = e^{-2x}$ とすると、$u' = 1$、$v' = -2e^{-2x}$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)$

(5) $y = \log(x^2 + 4)$

合成関数の微分公式を用います。$\log(u)$ の微分は $\frac{1}{u}$ であり、$u = x^2 + 4$ の微分は $2x$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4}$

(6) $y = e^x \log x$

積の微分公式を用います。 $(uv)' = u'v + uv'$。

$u = e^x$、$v = \log x$ とすると、$u' = e^x$、$v' = \frac{1}{x}$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x (\log x + \frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = e^x (\sin x + \cos x)$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - 2x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 4}$

(6) $\frac{dy}{dx} = e^x (\log x + \frac{1}{x})$