与えられた2つの関数について、それぞれの関数を微分することを目標とします。 (4) $y = \sqrt{1-x^2}$ (5) $y = (2x-3)\sqrt[3]{2x-3}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、それぞれの関数を微分することを目標とします。

(4) $y = \sqrt{1-x^2}$

(5) $y = (2x-3)\sqrt[3]{2x-3}$

2. 解き方の手順

(4) の関数 $y = \sqrt{1-x^2}$ を微分します。

まず、合成関数の微分を適用します。$u = 1-x^2$ とすると、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ となり、$du/dx = -2x$、$dy/du = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

(5) の関数 $y = (2x-3)\sqrt[3]{2x-3}$ を微分します。

$y = (2x-3)(2x-3)^{\frac{1}{3}} = (2x-3)^{\frac{4}{3}}$ と変形できます。

合成関数の微分を適用します。$u = 2x-3$ とすると、$y = u^{\frac{4}{3}}$ となり、$du/dx = 2$、$dy/du = \frac{4}{3}u^{\frac{1}{3}}$ となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{4}{3}(2x-3)^{\frac{1}{3}} \cdot 2 = \frac{8}{3}\sqrt[3]{2x-3}$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{8}{3}\sqrt[3]{2x-3}$