(1) 二重積分 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (3-x-y) \,dy \,dx$ を計算し、積分順序を交換した二重積分を計算し、それらの値が等しいことを確認する。 (2) 二重積分 $\int_{0}^{2} \int_{x^2}^{2x} (2x+1) \,dy \,dx$ を計算し、積分順序を交換した二重積分を計算し、それらの値が等しいことを確認する。

1. 問題の内容

(1) 二重積分 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (3-x-y) \,dy \,dx$ を計算し、積分順序を交換した二重積分を計算し、それらの値が等しいことを確認する。

(2) 二重積分 $\int_{0}^{2} \int_{x^2}^{2x} (2x+1) \,dy \,dx$ を計算し、積分順序を交換した二重積分を計算し、それらの値が等しいことを確認する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた二重積分を計算する。

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (3-x-y) \,dy \,dx = \int_{0}^{1} \left[ 3y - xy - \frac{1}{2}y^2 \right]_{0}^{x} \,dx$$

$$= \int_{0}^{1} \left( 3x - x^2 - \frac{1}{2}x^2 \right) \,dx = \int_{0}^{1} \left( 3x - \frac{3}{2}x^2 \right) \,dx$$

$$= \left[ \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$$

次に、積分順序を交換する。積分範囲は $0 \le y \le x$ かつ $0 \le x \le 1$ であるので、$y \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le 1$ となる。よって、

$$\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} (3-x-y) \,dx \,dy = \int_{0}^{1} \left[ 3x - \frac{1}{2}x^2 - xy \right]_{y}^{1} \,dy$$

$$= \int_{0}^{1} \left( (3 - \frac{1}{2} - y) - (3y - \frac{1}{2}y^2 - y^2) \right) \,dy = \int_{0}^{1} \left( \frac{5}{2} - 4y + \frac{3}{2}y^2 \right) \,dy$$

$$= \left[ \frac{5}{2}y - 2y^2 + \frac{1}{2}y^3 \right]_{0}^{1} = \frac{5}{2} - 2 + \frac{1}{2} = 1$$

(2)

まず、与えられた二重積分を計算する。

$$\int_{0}^{2} \int_{x^2}^{2x} (2x+1) \,dy \,dx = \int_{0}^{2} (2x+1) \left[ y \right]_{x^2}^{2x} \,dx = \int_{0}^{2} (2x+1)(2x-x^2) \,dx$$

$$= \int_{0}^{2} (4x^2 - 2x^3 + 2x - x^2) \,dx = \int_{0}^{2} (-2x^3 + 3x^2 + 2x) \,dx$$

$$= \left[ -\frac{1}{2}x^4 + x^3 + x^2 \right]_{0}^{2} = -\frac{1}{2}(16) + 8 + 4 = -8 + 8 + 4 = 4$$

次に、積分順序を交換する。積分範囲は $x^2 \le y \le 2x$ かつ $0 \le x \le 2$ である。

$y = x^2$ と $y = 2x$ の交点を求めると、$x^2 = 2x$ より $x(x-2) = 0$ なので $x = 0, 2$。

$y = x^2$ より $x = \sqrt{y}$ ($x \ge 0$), $y = 2x$ より $x = \frac{y}{2}$。

$0 \le x \le 2$ において、$x^2 \le y \le 2x$ となるためには、$0 \le y \le 4$ でなければならない。

積分範囲は、$0 \le y \le 4$ で $\frac{y}{2} \le x \le \sqrt{y}$となる。

$$\int_{0}^{4} \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} (2x+1) \,dx \,dy = \int_{0}^{4} \left[ x^2 + x \right]_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} \,dy = \int_{0}^{4} \left( (y + \sqrt{y}) - (\frac{y^2}{4} + \frac{y}{2}) \right) \,dy$$

$$= \int_{0}^{4} \left( \frac{y}{2} + \sqrt{y} - \frac{y^2}{4} \right) \,dy = \left[ \frac{y^2}{4} + \frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}} - \frac{y^3}{12} \right]_{0}^{4} = \frac{16}{4} + \frac{2}{3}(8) - \frac{64}{12} = 4 + \frac{16}{3} - \frac{16}{3} = 4$$

3. 最終的な答え

(1) 積分の値は1

(2) 積分の値は4