次の3つの関数の原始関数（不定積分）を求める問題です。 (1) $\frac{\tan x}{1 + \cos x}$ (2) $\frac{1}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$ (ただし、$ab \neq 0$) (3) $\frac{1}{2\cos x + 2\sin x + 3}$

1. 問題の内容

次の3つの関数の原始関数（不定積分）を求める問題です。

(1) $\frac{\tan x}{1 + \cos x}$

(2) $\frac{1}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$ (ただし、$ab \neq 0$)

(3) $\frac{1}{2\cos x + 2\sin x + 3}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\tan x}{1 + \cos x}$ の場合:

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用します。

$$\frac{\tan x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x (1 + \cos x)}$$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x \, dx$ となります。

$$\int \frac{\sin x}{\cos x (1 + \cos x)} dx = -\int \frac{1}{u(1+u)} du$$

部分分数分解を用いて $\frac{1}{u(1+u)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{1+u}$ と変形します。

$$-\int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u}\right) du = -\int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{1+u} du = -\ln |u| + \ln |1+u| + C$$

$u = \cos x$ を代入して、

$$-\ln |\cos x| + \ln |1+\cos x| + C = \ln \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right| + C$$

(2) $\frac{1}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$ の場合:

分子と分母を $\cos^2 x$ で割ります。

$$\frac{1}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} = \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{a^2 + b^2 \tan^2 x} = \frac{\sec^2 x}{a^2 + b^2 \tan^2 x}$$

ここで、$u = \tan x$ と置換すると、$du = \sec^2 x \, dx$ となります。

$$\int \frac{\sec^2 x}{a^2 + b^2 \tan^2 x} dx = \int \frac{1}{a^2 + b^2 u^2} du = \frac{1}{b^2} \int \frac{1}{\frac{a^2}{b^2} + u^2} du$$

さらに、$u = \frac{a}{b} v$ と置換すると、$du = \frac{a}{b} dv$ となります。

$$\frac{1}{b^2} \int \frac{1}{\frac{a^2}{b^2} + u^2} du = \frac{1}{b^2} \int \frac{1}{\frac{a^2}{b^2} + \frac{a^2}{b^2}v^2} \frac{a}{b} dv = \frac{a}{b^3} \int \frac{1}{\frac{a^2}{b^2}(1+v^2)} dv = \frac{1}{ab} \int \frac{1}{1+v^2} dv$$

$$= \frac{1}{ab} \arctan(v) + C = \frac{1}{ab} \arctan \left(\frac{b}{a} u \right) + C = \frac{1}{ab} \arctan \left(\frac{b}{a} \tan x \right) + C$$

(3) $\frac{1}{2\cos x + 2\sin x + 3}$ の場合:

$t = \tan \frac{x}{2}$ と置換すると、 $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ となります。

$$\int \frac{1}{2\cos x + 2\sin x + 3} dx = \int \frac{1}{2(\frac{1-t^2}{1+t^2}) + 2(\frac{2t}{1+t^2}) + 3} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2}{2(1-t^2)+4t+3(1+t^2)} dt$$

$$= \int \frac{2}{2-2t^2+4t+3+3t^2} dt = \int \frac{2}{t^2+4t+5} dt = \int \frac{2}{(t+2)^2 + 1} dt$$

ここで、$u = t+2$ と置換すると、$du = dt$ となります。

$$2 \int \frac{1}{u^2 + 1} du = 2 \arctan(u) + C = 2 \arctan(t+2) + C = 2 \arctan(\tan \frac{x}{2} + 2) + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\ln \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right| + C$

(2) $\frac{1}{ab} \arctan \left(\frac{b}{a} \tan x \right) + C$

(3) $2 \arctan\left(\tan \frac{x}{2} + 2\right) + C$