$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x} < 1$ であることを示す。

1. 問題の内容

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x} < 1$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ を微分する。

商の微分公式より、

$f'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

(2) $g(x) = x\cos x - \sin x$ とおく。$0 < x < \frac{\pi}{2}$ における $g(x)$ の符号を調べる。

$g'(x) = \cos x - x\sin x - \cos x = -x\sin x$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$\sin x > 0$ なので、$g'(x) < 0$ である。

よって、$g(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において単調減少である。

$\lim_{x \to 0} g(x) = 0 \cdot \cos 0 - \sin 0 = 0$

したがって、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$g(x) < 0$ である。

(3) $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ であり、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$g(x) < 0$ かつ $x^2 > 0$ であるから、$f'(x) < 0$ となる。

よって、$f(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において単調減少である。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}$

(4) $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x)$ は単調減少であり、$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ かつ $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{2}{\pi}$ であるから、

$\frac{2}{\pi} < f(x) < 1$

したがって、$\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x} < 1$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x} < 1$