不等式 $-x^2 + (a+2)x + a - 3 < y < x^2 - (a-1)x - 2$ について、 (1) どんな $x$ に対しても、それぞれ適当な $y$ をとれば不等式が成立するための $a$ の値の範囲を求める。 (2) 適当な $y$ をとれば、どんな $x$ に対しても不等式が成立するための $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $-x^2 + (a+2)x + a - 3 < y < x^2 - (a-1)x - 2$ について、

(1) どんな $x$ に対しても、それぞれ適当な $y$ をとれば不等式が成立するための $a$ の値の範囲を求める。

(2) 適当な $y$ をとれば、どんな $x$ に対しても不等式が成立するための $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) どんな $x$ に対しても、それぞれ適当な $y$ をとれば不等式が成立するためには、 $-x^2 + (a+2)x + a - 3 < x^2 - (a-1)x - 2$ が成り立つ必要があります。これを整理すると、

$2x^2 - (2a+1)x - a + 1 > 0$

この不等式がすべての $x$ について成り立つためには、

判別式 $D = (2a+1)^2 - 4(2)(-a+1) < 0$

$4a^2 + 4a + 1 + 8a - 8 < 0$

$4a^2 + 12a - 7 < 0$

$(2a - 1)(2a + 7) < 0$

$-\frac{7}{2} < a < \frac{1}{2}$

(2) 適当な $y$ をとれば、どんな $x$ に対しても不等式が成立するためには、

$-x^2 + (a+2)x + a - 3 < x^2 - (a-1)x - 2$

となるような $y$ が存在する必要がある。

つまり、$f(x) = -x^2 + (a+2)x + a - 3$ の最大値が $g(x) = x^2 - (a-1)x - 2$ の最小値より小さければよい。

$f(x) = -(x - \frac{a+2}{2})^2 + \frac{(a+2)^2}{4} + a - 3$

$f(x)$ の最大値は $\frac{(a+2)^2}{4} + a - 3 = \frac{a^2 + 8a - 8}{4}$

$g(x) = (x - \frac{a-1}{2})^2 - \frac{(a-1)^2}{4} - 2$

$g(x)$ の最小値は $-\frac{(a-1)^2}{4} - 2 = \frac{-a^2 + 2a - 9}{4}$

$\frac{a^2 + 8a - 8}{4} < \frac{-a^2 + 2a - 9}{4}$

$a^2 + 8a - 8 < -a^2 + 2a - 9$

$2a^2 + 6a + 1 < 0$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2}$

$\frac{-3 - \sqrt{7}}{2} < a < \frac{-3 + \sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

ア: -7/2

イ: 1/2

ウ: (-3 - √7)/2

エ: (-3 + √7)/2