定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。問題の画像にある定積分の問題を解きます。今回は、問題(1)を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ を $x$ のべき乗の形で表します。

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$

次に、不定積分を計算します。

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

定積分を計算するために、求めた不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2$